微分積分例

$y = \frac{x^{3} - 8}{x - 2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{3} - 8$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{3} - 8] - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x^{3} - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 2) (3 x^{2}) - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.2

$3$ を $x - 2$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{3 (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.7

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3 (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(3 x + 3 \cdot - 2) x^{2} - (x^{3} - 8)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot - 2 x^{2} - (x^{3} - 8)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot - 2 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.3.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.1.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.3.4.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 \cdot - 2 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4.1.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot - 2 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot - 2 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4.1.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot - 2 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4.1.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4.1.3

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} - x^{3} + 8}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4.2

$3 x^{3}$ から $x^{3}$ を引きます。

$\frac{2 x^{3} - 6 x^{2} + 8}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5

$2$ を $2 x^{3} - 6 x^{2} + 8$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.3.5.1

$2$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{3}) - 6 x^{2} + 8}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.2

$2$ を $- 6 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 8}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.3

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{3} + 2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.4

$2$ を $2 x^{3} + 2 (- 3 x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2}) + 2 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.5

$2$ を $2 (x^{3} - 3 x^{2}) + 2 \cdot 4$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ です。

$\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

$2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.1.2.1.2

$x^{3} - 3 x^{2} + 4$ を $1$ で割ります。

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.3.2.1

有理根検定を用いて $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ を因数分解します。

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ステップ 2.3.2.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

ステップ 2.3.2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

ステップ 2.3.2.1.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

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ステップ 2.3.2.1.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

${(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

ステップ 2.3.2.1.3.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- 1 - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

ステップ 2.3.2.1.3.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 1 - 3 \cdot 1 + 4$

ステップ 2.3.2.1.3.4

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- 1 - 3 + 4$

ステップ 2.3.2.1.3.5

$- 1$ から $3$ を引きます。

$- 4 + 4$

ステップ 2.3.2.1.3.6

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.3.2.1.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 4}{x + 1}$

ステップ 2.3.2.1.5

$x^{3} - 3 x^{2} + 4$ を $x + 1$ で割ります。

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ステップ 2.3.2.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$4$

ステップ 2.3.2.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$

ステップ 2.3.2.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

ステップ 2.3.2.1.5.7

被除数 $- 4 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

ステップ 2.3.2.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

ステップ 2.3.2.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 4 x^{2} - 4 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

ステップ 2.3.2.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

ステップ 2.3.2.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

ステップ 2.3.2.1.5.12

被除数 $4 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

ステップ 2.3.2.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							+	$4 x$	+	$4$

ステップ 2.3.2.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $4 x + 4$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$

ステップ 2.3.2.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$
										$0$

ステップ 2.3.2.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 4 x + 4$

ステップ 2.3.2.1.6

$x^{3} - 3 x^{2} + 4$ を因数の集合として書き換えます。

$(x + 1) (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

ステップ 2.3.2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$(x + 1) (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

ステップ 2.3.2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 2.3.2.2.3

多項式を書き換えます。

$(x + 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

ステップ 2.3.2.2.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(x + 1) {(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 2.3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 2.3.4

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.3.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.3.5

${(x - 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

${(x - 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 2.3.5.2

$x$ について ${(x - 2)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.5.2.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.3.5.2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.3.6

最終解は $(x + 1) {(x - 2)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 2$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{x^{3} - 8}{x - 2}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(- 1)}^{3} - 8}{(- 1) - 2}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{- 1 - 8}{- 1 - 2}$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 1$ から $8$ を引きます。

$\frac{- 9}{- 1 - 2}$

ステップ 4.1.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$- 1$ から $2$ を引きます。

$\frac{- 9}{- 3}$

ステップ 4.1.2.2.2

$- 9$ を $- 3$ で割ります。

$3$

ステップ 4.2

$x = 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$2$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(2)}^{3} - 8}{(2) - 2}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{{(2)}^{3} - 8}{0}$

ステップ 4.2.2.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 1, 3)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例