微分積分例

$y = x^{2} + 5 x - 7$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{2} + 5 x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.1.2.3

$5$ に $1$ をかけます。

$2 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 5 + 0$

ステップ 1.1.3.2

$2 x + 5$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 2 x + 5$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x + 5$ です。

$2 x + 5$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x + 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x + 5 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$2 x = - 5$

ステップ 2.3

$2 x = - 5$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$2 x = - 5$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 5}{2}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{5}{2}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{2} + 5 x - 7$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - \frac{5}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- \frac{5}{2}$ を $x$ に代入します。

${(- \frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.1.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{5}{2}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

ステップ 4.1.2.1.1.2

積の法則を $\frac{5}{2}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

ステップ 4.1.2.1.3

$\frac{5^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

ステップ 4.1.2.1.4

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{25}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

ステップ 4.1.2.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{25}{4} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

ステップ 4.1.2.1.6

$5 (- \frac{5}{2})$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1.6.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) - 7$

ステップ 4.1.2.1.6.2

$- 5$ と $\frac{5}{2}$ をまとめます。

$\frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} - 7$

ステップ 4.1.2.1.6.3

$- 5$ に $5$ をかけます。

$\frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} - 7$

ステップ 4.1.2.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{25}{4} - \frac{25}{2} - 7$

ステップ 4.1.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 4.1.2.2.1

$\frac{25}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{25}{4} - (\frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 7$

ステップ 4.1.2.2.2

$\frac{25}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 7$

ステップ 4.1.2.2.3

$- 7$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 7}{1}$

ステップ 4.1.2.2.4

$\frac{- 7}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 4.1.2.2.5

$\frac{- 7}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 7 \cdot 4}{4}$

ステップ 4.1.2.2.6

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{- 7 \cdot 4}{4}$

ステップ 4.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{25 - 25 \cdot 2 - 7 \cdot 4}{4}$

ステップ 4.1.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.4.1

$- 25$ に $2$ をかけます。

$\frac{25 - 50 - 7 \cdot 4}{4}$

ステップ 4.1.2.4.2

$- 7$ に $4$ をかけます。

$\frac{25 - 50 - 28}{4}$

ステップ 4.1.2.5

式を簡約します。

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ステップ 4.1.2.5.1

$25$ から $50$ を引きます。

$\frac{- 25 - 28}{4}$

ステップ 4.1.2.5.2

$- 25$ から $28$ を引きます。

$\frac{- 53}{4}$

ステップ 4.1.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{53}{4}$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(- \frac{5}{2}, - \frac{53}{4})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例