微分積分例

$x {(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = {(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{\frac{2}{3}}] + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ および $g (x) = 5 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 - x$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.2.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $5 - x$ で置き換えます。

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.5

公分母の分子をまとめます。

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.6.2

$2$ から $3$ を引きます。

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.7.2

$\frac{2}{3}$ と ${(5 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$x (\frac{2 {(5 - x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(5 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$x (\frac{2}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.7.4

$\frac{2}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [5 - x] + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.8

総和則では、 $5 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.9

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.10

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} (- 1 \cdot 1) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.13

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.13.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1 + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.13.2

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{2 x \cdot - 1}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.13.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.13.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.13.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1$

ステップ 1.1.15

${(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1.1.16

${(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ を掛けます。

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.17

${(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ と $\frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ をまとめます。

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(5 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.18

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.19

指数を足して ${(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ に ${(5 - x)}^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.19.1

${(5 - x)}^{\frac{1}{3}}$ を移動させます。

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{1}{3}} {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.19.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.19.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{1 + 2}{3}} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.19.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.19.5

$3$ を $3$ で割ります。

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{1} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.20

${(5 - x)}^{1} \cdot 3$ を簡約します。

$\frac{- 2 x + (5 - x) \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.21

$3$ を $5 - x$ の左に移動させます。

$\frac{- 2 x + 3 \cdot (5 - x)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.22

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.22.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 x + 3 \cdot 5 + 3 (- x)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.22.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.22.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.22.2.1.1

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{- 2 x + 15 + 3 (- x)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.22.2.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 2 x + 15 - 3 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.22.2.2

$- 2 x$ から $3 x$ を引きます。

$\frac{- 5 x + 15}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.22.3

$5$ を $- 5 x + 15$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.22.3.1

$5$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$\frac{5 (- x) + 15}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.22.3.2

$5$ を $15$ で因数分解します。

$\frac{5 (- x) + 5 (3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.22.3.3

$5$ を $5 (- x) + 5 (3)$ で因数分解します。

$\frac{5 (- x + 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.22.4

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{5 (- (x) + 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.22.5

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

$\frac{5 (- (x) - 1 (- 3))}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.22.6

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

$\frac{5 (- (x - 3))}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.22.7

$- (x - 3)$ を $- 1 (x - 3)$ に書き換えます。

$\frac{5 (- 1 (x - 3))}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.22.8

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ です。

$- \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$5 (x - 3) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

$5 (x - 3) = 0$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$5 (x - 3) = 0$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 (x - 3)}{5} = \frac{0}{5}$

ステップ 2.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 (x - 3)}{5} = \frac{0}{5}$

ステップ 2.3.1.2.1.2

$x - 3$ を $1$ で割ります。

$x - 3 = \frac{0}{5}$

ステップ 2.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1

$0$ を $5$ で割ります。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 3.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$- \frac{5 (x - 3)}{3 \sqrt[3]{{(5 - x)}^{1}}}$

ステップ 3.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$- \frac{5 (x - 3)}{3 \sqrt[3]{5 - x}}$

ステップ 3.2

$\frac{5 (x - 3)}{3 \sqrt[3]{5 - x}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 \sqrt[3]{5 - x} = 0$

ステップ 3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${(3 \sqrt[3]{5 - x})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{5 - x}$ を ${(5 - x)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${(3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

${(3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.1

積の法則を $3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}$ に当てはめます。

$3^{3} {({(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 {({(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.3

${({(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$27 {(5 - x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$27 {(5 - x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$27 {(5 - x)}^{1} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.4

簡約します。

$27 (5 - x) = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.5

分配則を当てはめます。

$27 \cdot 5 + 27 (- x) = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.6

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.6.1

$27$ に $5$ をかけます。

$135 + 27 (- x) = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.6.2

$- 1$ に $27$ をかけます。

$135 - 27 x = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$135 - 27 x = 0$

ステップ 3.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

方程式の両辺から $135$ を引きます。

$- 27 x = - 135$

ステップ 3.3.3.2

$- 27 x = - 135$ の各項を $- 27$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

$- 27 x = - 135$ の各項を $- 27$ で割ります。

$\frac{- 27 x}{- 27} = \frac{- 135}{- 27}$

ステップ 3.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.1

$- 27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 27 x}{- 27} = \frac{- 135}{- 27}$

ステップ 3.3.3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 135}{- 27}$

ステップ 3.3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.3.1

$- 135$ を $- 27$ で割ります。

$x = 5$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x {(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = 3$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$3$ を $x$ に代入します。

$(3) {(5 - (3))}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$3 {(5 - 3)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.2.2

$5$ から $3$ を引きます。

$3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2

$x = 5$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$5$ を $x$ に代入します。

$(5) {(5 - (5))}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$5 {(5 - 5)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2.2.1.2

$5$ から $5$ を引きます。

$5 \cdot 0^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2.2.1.3

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$5 \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2.2.1.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

ステップ 4.2.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

ステップ 4.2.2.2.2

式を書き換えます。

$5 \cdot 0^{2}$

ステップ 4.2.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$5 \cdot 0$

ステップ 4.2.2.3.2

$5$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(3, 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}), (5, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例