微分積分例

$x + \cos (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f' (x) = 1 - \sin (x)$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $1 - \sin (x)$ です。

$1 - \sin (x)$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $1 - \sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$1 - \sin (x) = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \sin (x) = - 1$

ステップ 2.3

$- \sin (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$- \sin (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.3.2.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$\sin (x) = 1$

ステップ 2.4

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (1)$

ステップ 2.5

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$\arcsin (1)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 2.6

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{2}$

ステップ 2.7

$π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 2.7.2

分数をまとめます。

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ステップ 2.7.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 2.7.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 2.7.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.7.3.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

ステップ 2.7.3.2

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 2.8

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.8.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.8.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.8.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.9

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x + \cos (x)$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = \frac{π}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{π}{2}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{π}{2} + 0$

ステップ 4.1.2.2

$\frac{π}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{π}{2}$

ステップ 4.2

$x = \frac{5 π}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$\frac{5 π}{2}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{5 π}{2}) + \cos (\frac{5 π}{2})$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{5 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 4.2.2.1.2

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{5 π}{2} + 0$

ステップ 4.2.2.2

$\frac{5 π}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{5 π}{2}$

ステップ 4.3

$x = \frac{9 π}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$\frac{9 π}{2}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{9 π}{2}) + \cos (\frac{9 π}{2})$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{9 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 4.3.2.1.2

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{9 π}{2} + 0$

ステップ 4.3.2.2

$\frac{9 π}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{9 π}{2}$

ステップ 4.4

$x = \frac{13 π}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 4.4.1

$\frac{13 π}{2}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{13 π}{2}) + \cos (\frac{13 π}{2})$

ステップ 4.4.2

簡約します。

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ステップ 4.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{13 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 4.4.2.1.2

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{13 π}{2} + 0$

ステップ 4.4.2.2

$\frac{13 π}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{13 π}{2}$

ステップ 4.5

$x = \frac{17 π}{2}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$\frac{17 π}{2}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{17 π}{2}) + \cos (\frac{17 π}{2})$

ステップ 4.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{17 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 4.5.2.1.2

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{17 π}{2} + 0$

ステップ 4.5.2.2

$\frac{17 π}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{17 π}{2}$

ステップ 4.6

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{π}{2}, \frac{π}{2}), (\frac{5 π}{2}, \frac{5 π}{2}), (\frac{9 π}{2}, \frac{9 π}{2}), (\frac{13 π}{2}, \frac{13 π}{2}), (\frac{17 π}{2}, \frac{17 π}{2})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例