微分積分例

$- x + 2 \cos (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $- x + 2 \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 1.1.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cos (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$- 1 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- 1 + 2 (- \sin (x))$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = - 1 - 2 \sin (x)$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 1 - 2 \sin (x)$ です。

$- 1 - 2 \sin (x)$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 1 - 2 \sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 1 - 2 \sin (x) = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- 2 \sin (x) = 1$

ステップ 2.3

$- 2 \sin (x) = 1$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$- 2 \sin (x) = 1$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

ステップ 2.3.2.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{1}{- 2}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 2.4

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

ステップ 2.5

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $- \frac{π}{6}$ です。

$x = - \frac{π}{6}$

ステップ 2.6

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

ステップ 2.7

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 2.7.1

$2 π + \frac{π}{6} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

ステップ 2.7.2

$\frac{7 π}{6}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{6} + π$ と隣接します。

$x = \frac{7 π}{6}$

ステップ 2.8

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.8.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.8.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.8.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.9

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 2.9.1

$2 π$ を $- \frac{π}{6}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{6} + 2 π$

ステップ 2.9.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 2.9.3

分数をまとめます。

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ステップ 2.9.3.1

$2 π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 2.9.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 2.9.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.9.4.1

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{12 π - π}{6}$

ステップ 2.9.4.2

$12 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{11 π}{6}$

ステップ 2.9.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{11 π}{6}$

ステップ 2.10

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $- x + 2 \cos (x)$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = \frac{7 π}{6}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{7 π}{6}$ を $x$ に代入します。

$- (\frac{7 π}{6}) + 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

ステップ 4.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{7 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

ステップ 4.1.2.2

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- \frac{7 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 4.1.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- \frac{7 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.1.2.3.2

共通因数を約分します。

$- \frac{7 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.1.2.3.3

式を書き換えます。

$- \frac{7 π}{6} - \sqrt{3}$

ステップ 4.2

$x = \frac{19 π}{6}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\frac{19 π}{6}$ を $x$ に代入します。

$- (\frac{19 π}{6}) + 2 \cos (\frac{19 π}{6})$

ステップ 4.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$- \frac{19 π}{6} + 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

ステップ 4.2.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{19 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

ステップ 4.2.2.3

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- \frac{19 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 4.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.4.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- \frac{19 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.2.2.4.2

共通因数を約分します。

$- \frac{19 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.2.2.4.3

式を書き換えます。

$- \frac{19 π}{6} - \sqrt{3}$

ステップ 4.3

$x = \frac{31 π}{6}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$\frac{31 π}{6}$ を $x$ に代入します。

$- (\frac{31 π}{6}) + 2 \cos (\frac{31 π}{6})$

ステップ 4.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$- \frac{31 π}{6} + 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

ステップ 4.3.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{31 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

ステップ 4.3.2.3

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- \frac{31 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 4.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- \frac{31 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.3.2.4.2

共通因数を約分します。

$- \frac{31 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.3.2.4.3

式を書き換えます。

$- \frac{31 π}{6} - \sqrt{3}$

ステップ 4.4

$x = \frac{43 π}{6}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$\frac{43 π}{6}$ を $x$ に代入します。

$- (\frac{43 π}{6}) + 2 \cos (\frac{43 π}{6})$

ステップ 4.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$- \frac{43 π}{6} + 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

ステップ 4.4.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{43 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

ステップ 4.4.2.3

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- \frac{43 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 4.4.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.4.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- \frac{43 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.4.2.4.2

共通因数を約分します。

$- \frac{43 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.4.2.4.3

式を書き換えます。

$- \frac{43 π}{6} - \sqrt{3}$

ステップ 4.5

$x = \frac{55 π}{6}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$\frac{55 π}{6}$ を $x$ に代入します。

$- (\frac{55 π}{6}) + 2 \cos (\frac{55 π}{6})$

ステップ 4.5.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$- \frac{55 π}{6} + 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

ステップ 4.5.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{55 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

ステップ 4.5.2.3

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- \frac{55 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 4.5.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.4.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- \frac{55 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.5.2.4.2

共通因数を約分します。

$- \frac{55 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.5.2.4.3

式を書き換えます。

$- \frac{55 π}{6} - \sqrt{3}$

ステップ 4.6

$x = \frac{11 π}{6}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

$\frac{11 π}{6}$ を $x$ に代入します。

$- (\frac{11 π}{6}) + 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

ステップ 4.6.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- \frac{11 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

ステップ 4.6.2.2

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- \frac{11 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.6.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.2.3.1

共通因数を約分します。

$- \frac{11 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.6.2.3.2

式を書き換えます。

$- \frac{11 π}{6} + \sqrt{3}$

ステップ 4.7

$x = \frac{23 π}{6}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

$\frac{23 π}{6}$ を $x$ に代入します。

$- (\frac{23 π}{6}) + 2 \cos (\frac{23 π}{6})$

ステップ 4.7.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$- \frac{23 π}{6} + 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

ステップ 4.7.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- \frac{23 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

ステップ 4.7.2.3

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- \frac{23 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.7.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{23 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.7.2.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{23 π}{6} + \sqrt{3}$

ステップ 4.8

$x = \frac{35 π}{6}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1

$\frac{35 π}{6}$ を $x$ に代入します。

$- (\frac{35 π}{6}) + 2 \cos (\frac{35 π}{6})$

ステップ 4.8.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$- \frac{35 π}{6} + 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

ステップ 4.8.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- \frac{35 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

ステップ 4.8.2.3

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- \frac{35 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.8.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.2.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{35 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.8.2.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{35 π}{6} + \sqrt{3}$

ステップ 4.9

$x = \frac{47 π}{6}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.1

$\frac{47 π}{6}$ を $x$ に代入します。

$- (\frac{47 π}{6}) + 2 \cos (\frac{47 π}{6})$

ステップ 4.9.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$- \frac{47 π}{6} + 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

ステップ 4.9.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- \frac{47 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

ステップ 4.9.2.3

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- \frac{47 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.9.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.2.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{47 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.9.2.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{47 π}{6} + \sqrt{3}$

ステップ 4.10

$x = \frac{59 π}{6}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.1

$\frac{59 π}{6}$ を $x$ に代入します。

$- (\frac{59 π}{6}) + 2 \cos (\frac{59 π}{6})$

ステップ 4.10.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$- \frac{59 π}{6} + 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

ステップ 4.10.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- \frac{59 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

ステップ 4.10.2.3

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- \frac{59 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.10.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.2.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{59 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.10.2.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{59 π}{6} + \sqrt{3}$

ステップ 4.11

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{7 π}{6}, - \frac{7 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{19 π}{6}, - \frac{19 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{31 π}{6}, - \frac{31 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{43 π}{6}, - \frac{43 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{55 π}{6}, - \frac{55 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{11 π}{6}, - \frac{11 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{23 π}{6}, - \frac{23 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{35 π}{6}, - \frac{35 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{47 π}{6}, - \frac{47 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{59 π}{6}, - \frac{59 π}{6} + \sqrt{3})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例