微分積分例

$\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3} \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3} \cos (x)]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3} \cos (x)]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{3} \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$- \sqrt{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sqrt{3} \cos (x)$ の微分係数は $- \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\cos (x) - \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\cos (x) - \sqrt{3} (- \sin (x))$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\cos (x) + 1 \sqrt{3} \sin (x)$

ステップ 1.1.3.4

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \cos (x) + \sqrt{3} \sin (x)$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\cos (x) + \sqrt{3} \sin (x)$ です。

$\cos (x) + \sqrt{3} \sin (x)$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\cos (x) + \sqrt{3} \sin (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\cos (x) + \sqrt{3} \sin (x) = 0$

ステップ 2.2

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.3

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.3.2

式を書き換えます。

$1 + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.4

分数を分解します。

$1 + \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.5

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$1 + \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.6

$\sqrt{3}$ を $1$ で割ります。

$1 + \sqrt{3} \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.7

分数を分解します。

$1 + \sqrt{3} \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 2.8

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$1 + \sqrt{3} \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 2.9

$0$ を $1$ で割ります。

$1 + \sqrt{3} \tan (x) = 0 \sec (x)$

ステップ 2.10

$0$ に $\sec (x)$ をかけます。

$1 + \sqrt{3} \tan (x) = 0$

ステップ 2.11

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\sqrt{3} \tan (x) = - 1$

ステップ 2.12

$\sqrt{3} \tan (x) = - 1$ の各項を $\sqrt{3}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.1

$\sqrt{3} \tan (x) = - 1$ の各項を $\sqrt{3}$ で割ります。

$\frac{\sqrt{3} \tan (x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.12.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.2.1

$\sqrt{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{3} \tan (x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.12.2.1.2

$\tan (x)$ を $1$ で割ります。

$\tan (x) = \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.12.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\tan (x) = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.12.3.2

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\tan (x) = - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

ステップ 2.12.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.3.3.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 2.12.3.3.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 2.12.3.3.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 2.12.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.12.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 2.12.3.3.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.12.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.12.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.12.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.12.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 2.12.3.3.6.5

指数を求めます。

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.13

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

ステップ 2.14

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.1

$\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ の厳密値は $- \frac{π}{6}$ です。

$x = - \frac{π}{6}$

ステップ 2.15

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - \frac{π}{6} - π$

ステップ 2.16

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.16.1

$2 π$ に $- \frac{π}{6} - π$ をたし算します。

$x = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

ステップ 2.16.2

$\frac{5 π}{6}$ の結果の角度は正で $- \frac{π}{6} - π$ と隣接します。

$x = \frac{5 π}{6}$

ステップ 2.17

$\tan (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 2.17.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 2.17.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 2.17.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 2.18

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.1

$π$ を $- \frac{π}{6}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{6} + π$

ステップ 2.18.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 2.18.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.1

$π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 2.18.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 2.18.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.4.1

$6$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{6 \cdot π - π}{6}$

ステップ 2.18.4.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{5 π}{6}$

ステップ 2.18.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{5 π}{6}$

ステップ 2.19

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x)$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = \frac{5 π}{6}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{5 π}{6}$ を $x$ に代入します。

$\sin (\frac{5 π}{6}) - \sqrt{3} \cos (\frac{5 π}{6})$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\sin (\frac{π}{6}) - \sqrt{3} \cos (\frac{5 π}{6})$

ステップ 4.1.2.1.2

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{1}{2} - \sqrt{3} \cos (\frac{5 π}{6})$

ステップ 4.1.2.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{1}{2} - \sqrt{3} (- \cos (\frac{π}{6}))$

ステップ 4.1.2.1.4

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{1}{2} - \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 4.1.2.1.5

$- \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} + 1 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.1.2.1.5.2

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} + \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.1.2.1.5.3

$\sqrt{3}$ と $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.1.2.1.5.4

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.1.2.1.5.5

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2}$

ステップ 4.1.2.1.5.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2}$

ステップ 4.1.2.1.5.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2}$

ステップ 4.1.2.1.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

ステップ 4.1.2.1.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

ステップ 4.1.2.1.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{2} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

ステップ 4.1.2.1.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

ステップ 4.1.2.1.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} + \frac{3^{1}}{2}$

ステップ 4.1.2.1.6.5

指数を求めます。

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2}$

ステップ 4.1.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + 3}{2}$

ステップ 4.1.2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.2.1

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{4}{2}$

ステップ 4.1.2.2.2.2

$4$ を $2$ で割ります。

$2$

ステップ 4.2

$x = \frac{11 π}{6}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\frac{11 π}{6}$ を $x$ に代入します。

$\sin (\frac{11 π}{6}) - \sqrt{3} \cos (\frac{11 π}{6})$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- \sin (\frac{π}{6}) - \sqrt{3} \cos (\frac{11 π}{6})$

ステップ 4.2.2.1.2

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$- \frac{1}{2} - \sqrt{3} \cos (\frac{11 π}{6})$

ステップ 4.2.2.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- \frac{1}{2} - \sqrt{3} \cos (\frac{π}{6})$

ステップ 4.2.2.1.4

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- \frac{1}{2} - \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.2.2.1.5

$- \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.5.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ と $\sqrt{3}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.2.2.1.5.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.2.2.1.5.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2}$

ステップ 4.2.2.1.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2}$

ステップ 4.2.2.1.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2}$

ステップ 4.2.2.1.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

ステップ 4.2.2.1.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{2} - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

ステップ 4.2.2.1.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

ステップ 4.2.2.1.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2} - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

ステップ 4.2.2.1.6.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2} - \frac{3^{1}}{2}$

ステップ 4.2.2.1.6.5

指数を求めます。

$- \frac{1}{2} - \frac{3}{2}$

ステップ 4.2.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 - 3}{2}$

ステップ 4.2.2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.2.1

$- 1$ から $3$ を引きます。

$\frac{- 4}{2}$

ステップ 4.2.2.2.2.2

$- 4$ を $2$ で割ります。

$- 2$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{5 π}{6} + 2 π n, 2), (\frac{11 π}{6} + 2 π n, - 2)$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例