微分積分例

$g (x) = x^{6} - 9 x^{4}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{6} - 9 x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{4})$

ステップ 1.1.1.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 6 x^{5} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{4})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x^{4}$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = 6 x^{5} - 9 \frac{d}{d x} x^{4}$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 6 x^{5} - 9 (4 x^{3})$

ステップ 1.1.2.3

$4$ に $- 9$ をかけます。

$f' (x) = 6 x^{5} - 36 x^{3}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $g (x)$ の一次導関数は $6 x^{5} - 36 x^{3}$ です。

$6 x^{5} - 36 x^{3}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x^{5} - 36 x^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x^{5} - 36 x^{3} = 0$

ステップ 2.2

$6 x^{3}$ を $6 x^{5} - 36 x^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$6 x^{3}$ を $6 x^{5}$ で因数分解します。

$6 x^{3} (x^{2}) - 36 x^{3} = 0$

ステップ 2.2.2

$6 x^{3}$ を $- 36 x^{3}$ で因数分解します。

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 6) = 0$

ステップ 2.2.3

$6 x^{3}$ を $6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 6)$ で因数分解します。

$6 x^{3} (x^{2} - 6) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{3} = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

ステップ 2.4

$x^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x^{3}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{3} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 2.4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 2.4.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x^{2} - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x^{2} - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 6 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} - 6 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x^{2} = 6$

ステップ 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{6}$

ステップ 2.5.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{6}$

ステップ 2.5.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{6}$

ステップ 2.5.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

ステップ 2.6

最終解は $6 x^{3} (x^{2} - 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{6} - 9 x^{4}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{6} - 9 {(0)}^{4}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 9 {(0)}^{4}$

ステップ 4.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 9 \cdot 0$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 9$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 4.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 4.2

$x = \sqrt{6}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\sqrt{6}$ を $x$ に代入します。

${(\sqrt{6})}^{6} - 9 {(\sqrt{6})}^{4}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

${\sqrt{6}}^{6}$ を $6^{3}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6}$ を $6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(6^{\frac{1}{2}})}^{6} - 9 {(\sqrt{6})}^{4}$

ステップ 4.2.2.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6^{\frac{1}{2} \cdot 6} - 9 {(\sqrt{6})}^{4}$

ステップ 4.2.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $6$ をまとめます。

$6^{\frac{6}{2}} - 9 {(\sqrt{6})}^{4}$

ステップ 4.2.2.1.1.4

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1.4.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$6^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - 9 {(\sqrt{6})}^{4}$

ステップ 4.2.2.1.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$6^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - 9 {(\sqrt{6})}^{4}$

ステップ 4.2.2.1.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$6^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - 9 {(\sqrt{6})}^{4}$

ステップ 4.2.2.1.1.4.2.3

式を書き換えます。

$6^{\frac{3}{1}} - 9 {(\sqrt{6})}^{4}$

ステップ 4.2.2.1.1.4.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$6^{3} - 9 {(\sqrt{6})}^{4}$

ステップ 4.2.2.1.2

$6$ を $3$ 乗します。

$216 - 9 {(\sqrt{6})}^{4}$

ステップ 4.2.2.1.3

${\sqrt{6}}^{4}$ を $6^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6}$ を $6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$216 - 9 {(6^{\frac{1}{2}})}^{4}$

ステップ 4.2.2.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$216 - 9 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

ステップ 4.2.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$216 - 9 \cdot 6^{\frac{4}{2}}$

ステップ 4.2.2.1.3.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.3.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$216 - 9 \cdot 6^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

ステップ 4.2.2.1.3.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.3.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$216 - 9 \cdot 6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

ステップ 4.2.2.1.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$216 - 9 \cdot 6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

ステップ 4.2.2.1.3.4.2.3

式を書き換えます。

$216 - 9 \cdot 6^{\frac{2}{1}}$

ステップ 4.2.2.1.3.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$216 - 9 \cdot 6^{2}$

ステップ 4.2.2.1.4

$6$ を $2$ 乗します。

$216 - 9 \cdot 36$

ステップ 4.2.2.1.5

$- 9$ に $36$ をかけます。

$216 - 324$

ステップ 4.2.2.2

$216$ から $324$ を引きます。

$- 108$

ステップ 4.3

$x = - \sqrt{6}$ での値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$- \sqrt{6}$ を $x$ に代入します。

${(- \sqrt{6})}^{6} - 9 {(- \sqrt{6})}^{4}$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

積の法則を $- \sqrt{6}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{6} {\sqrt{6}}^{6} - 9 {(- \sqrt{6})}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.2

$- 1$ を $6$ 乗します。

$1 {\sqrt{6}}^{6} - 9 {(- \sqrt{6})}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.3

${\sqrt{6}}^{6}$ に $1$ をかけます。

${\sqrt{6}}^{6} - 9 {(- \sqrt{6})}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.4

${\sqrt{6}}^{6}$ を $6^{3}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6}$ を $6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(6^{\frac{1}{2}})}^{6} - 9 {(- \sqrt{6})}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6^{\frac{1}{2} \cdot 6} - 9 {(- \sqrt{6})}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $6$ をまとめます。

$6^{\frac{6}{2}} - 9 {(- \sqrt{6})}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.4.4

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.4.4.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$6^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - 9 {(- \sqrt{6})}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.4.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.4.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$6^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - 9 {(- \sqrt{6})}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.4.4.2.2

共通因数を約分します。

$6^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - 9 {(- \sqrt{6})}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.4.4.2.3

式を書き換えます。

$6^{\frac{3}{1}} - 9 {(- \sqrt{6})}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.4.4.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$6^{3} - 9 {(- \sqrt{6})}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.5

$6$ を $3$ 乗します。

$216 - 9 {(- \sqrt{6})}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.6

積の法則を $- \sqrt{6}$ に当てはめます。

$216 - 9 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{6}}^{4})$

ステップ 4.3.2.1.7

$- 1$ を $4$ 乗します。

$216 - 9 (1 {\sqrt{6}}^{4})$

ステップ 4.3.2.1.8

${\sqrt{6}}^{4}$ に $1$ をかけます。

$216 - 9 {\sqrt{6}}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.9

${\sqrt{6}}^{4}$ を $6^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.9.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6}$ を $6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$216 - 9 {(6^{\frac{1}{2}})}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.9.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$216 - 9 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

ステップ 4.3.2.1.9.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$216 - 9 \cdot 6^{\frac{4}{2}}$

ステップ 4.3.2.1.9.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.9.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$216 - 9 \cdot 6^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

ステップ 4.3.2.1.9.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.9.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$216 - 9 \cdot 6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

ステップ 4.3.2.1.9.4.2.2

共通因数を約分します。

$216 - 9 \cdot 6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

ステップ 4.3.2.1.9.4.2.3

式を書き換えます。

$216 - 9 \cdot 6^{\frac{2}{1}}$

ステップ 4.3.2.1.9.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$216 - 9 \cdot 6^{2}$

ステップ 4.3.2.1.10

$6$ を $2$ 乗します。

$216 - 9 \cdot 36$

ステップ 4.3.2.1.11

$- 9$ に $36$ をかけます。

$216 - 324$

ステップ 4.3.2.2

$216$ から $324$ を引きます。

$- 108$

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (\sqrt{6}, - 108), (- \sqrt{6}, - 108)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例