微分積分例

$f (x) = x - 5 x^{\frac{1}{5}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x - 5 x^{\frac{1}{5}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{5}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{5}}]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{5}}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{5}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{\frac{1}{5}}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$ です。

$1 - 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = \frac{1}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 - 5 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1})$

ステップ 1.1.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$1 - 5 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

ステップ 1.1.2.4

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$1 - 5 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

ステップ 1.1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$1 - 5 (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}})$

ステップ 1.1.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.2.6.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$1 - 5 (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}})$

ステップ 1.1.2.6.2

$1$ から $5$ を引きます。

$1 - 5 (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}})$

ステップ 1.1.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$1 - 5 (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}})$

ステップ 1.1.2.8

$\frac{1}{5}$ と $x^{- \frac{4}{5}}$ をまとめます。

$1 - 5 \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$

ステップ 1.1.2.9

$- 5$ と $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ をまとめます。

$1 + \frac{- 5 x^{- \frac{4}{5}}}{5}$

ステップ 1.1.2.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{4}{5}}$ を分母に移動させます。

$1 + \frac{- 5}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 1.1.2.11

$5$ を $- 5$ で因数分解します。

$1 + \frac{5 \cdot - 1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 1.1.2.12

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.12.1

$5$ を $5 x^{\frac{4}{5}}$ で因数分解します。

$1 + \frac{5 \cdot - 1}{5 (x^{\frac{4}{5}})}$

ステップ 1.1.2.12.2

共通因数を約分します。

$1 + \frac{5 \cdot - 1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 1.1.2.12.3

式を書き換えます。

$1 + \frac{- 1}{x^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 1.1.2.13

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $1 - \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ です。

$1 - \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $1 - \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$1 - \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} = - 1$

ステップ 2.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{\frac{4}{5}}, 1$

ステップ 2.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{\frac{4}{5}}$

ステップ 2.4

$- \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} = - 1$ の各項に $x^{\frac{4}{5}}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.4.1

$- \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} = - 1$ の各項に $x^{\frac{4}{5}}$ を掛けます。

$- \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} x^{\frac{4}{5}} = - x^{\frac{4}{5}}$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$x^{\frac{4}{5}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

$- \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{x^{\frac{4}{5}}} x^{\frac{4}{5}} = - x^{\frac{4}{5}}$

ステップ 2.4.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{x^{\frac{4}{5}}} x^{\frac{4}{5}} = - x^{\frac{4}{5}}$

ステップ 2.4.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = - x^{\frac{4}{5}}$

ステップ 2.5

方程式を解きます。

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ステップ 2.5.1

方程式を $- x^{\frac{4}{5}} = - 1$ として書き換えます。

$- x^{\frac{4}{5}} = - 1$

ステップ 2.5.2

$- x^{\frac{4}{5}} = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$- x^{\frac{4}{5}} = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{\frac{4}{5}}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{\frac{4}{5}}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.5.2.2.2

$x^{\frac{4}{5}}$ を $1$ で割ります。

$x^{\frac{4}{5}} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x^{\frac{4}{5}} = 1$

ステップ 2.5.3

方程式の両辺を $\frac{5}{4}$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(x^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}} = \pm 1^{\frac{5}{4}}$

ステップ 2.5.4

指数を簡約します。

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ステップ 2.5.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1.1

${(x^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1.1.1

${(x^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4}} = \pm 1^{\frac{5}{4}}$

ステップ 2.5.4.1.1.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4}} = \pm 1^{\frac{5}{4}}$

ステップ 2.5.4.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 1^{\frac{5}{4}}$

ステップ 2.5.4.1.1.1.3

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 1^{\frac{5}{4}}$

ステップ 2.5.4.1.1.1.3.2

式を書き換えます。

$x^{1} = \pm 1^{\frac{5}{4}}$

ステップ 2.5.4.1.1.2

簡約します。

$x = \pm 1^{\frac{5}{4}}$

ステップ 2.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \pm 1$

ステップ 2.5.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.5.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 2.5.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 2.5.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$1 - \frac{1}{\sqrt[5]{x^{4}}}$

ステップ 3.2

$\frac{1}{\sqrt[5]{x^{4}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt[5]{x^{4}} = 0$

ステップ 3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を $5$ 乗します。

${\sqrt[5]{x^{4}}}^{5} = 0^{5}$

ステップ 3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{x^{4}}$ を $x^{\frac{4}{5}}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

ステップ 3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

${(x^{\frac{4}{5}})}^{5}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

ステップ 3.3.2.2.1.2

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

ステップ 3.3.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{4} = 0^{5}$

ステップ 3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x^{4} = 0$

ステップ 3.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

ステップ 3.3.3.2

$\pm \sqrt[4]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

$0$ を $0^{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

ステップ 3.3.3.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 3.3.3.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x - 5 x^{\frac{1}{5}}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$(1) - 5 {(1)}^{\frac{1}{5}}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 5 \cdot 1$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 5$ に $1$ をかけます。

$1 - 5$

ステップ 4.1.2.2

$1$ から $5$ を引きます。

$- 4$

ステップ 4.2

$x = - 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$(- 1) - 5 {(- 1)}^{\frac{1}{5}}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$- 1$ を ${(- 1)}^{5}$ に書き換えます。

$- 1 - 5 {({(- 1)}^{5})}^{\frac{1}{5}}$

ステップ 4.2.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 1 - 5 {(- 1)}^{5 (\frac{1}{5})}$

ステップ 4.2.2.1.3

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$- 1 - 5 {(- 1)}^{5 (\frac{1}{5})}$

ステップ 4.2.2.1.3.2

式を書き換えます。

$- 1 - 5 {(- 1)}^{1}$

ステップ 4.2.2.1.4

指数を求めます。

$- 1 - 5 \cdot - 1$

ステップ 4.2.2.1.5

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$- 1 + 5$

ステップ 4.2.2.2

$- 1$ と $5$ をたし算します。

$4$

ステップ 4.3

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$0$ を $x$ に代入します。

$(0) - 5 {(0)}^{\frac{1}{5}}$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$0$ を $0^{5}$ に書き換えます。

$0 - 5 {(0^{5})}^{\frac{1}{5}}$

ステップ 4.3.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0 - 5 \cdot 0^{5 (\frac{1}{5})}$

ステップ 4.3.2.1.3

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$0 - 5 \cdot 0^{5 (\frac{1}{5})}$

ステップ 4.3.2.1.3.2

式を書き換えます。

$0 - 5 \cdot 0^{1}$

ステップ 4.3.2.1.4

指数を求めます。

$0 - 5 \cdot 0$

ステップ 4.3.2.1.5

$- 5$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 4.3.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(1, - 4), (- 1, 4), (0, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

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