微分積分例

$y = x - 4 \ln (3 x - 9)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x - 4 \ln (3 x - 9)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 \ln (3 x - 9)$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ です。

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

ステップ 1.1.2.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 3 x - 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x - 9$ とします。

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

ステップ 1.1.2.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

ステップ 1.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x - 9$ で置き換えます。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

ステップ 1.1.2.3

総和則では、 $3 x - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

ステップ 1.1.2.4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

ステップ 1.1.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

ステップ 1.1.2.6

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

ステップ 1.1.2.7

$3$ に $1$ をかけます。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

ステップ 1.1.2.8

$3$ と $0$ をたし算します。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

ステップ 1.1.2.9

$\frac{1}{3 x - 9}$ と $3$ をまとめます。

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 9}$

ステップ 1.1.2.10

$3$ と $3 x - 9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.10.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

ステップ 1.1.2.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.10.2.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

ステップ 1.1.2.10.2.2

$3$ を $- 9$ で因数分解します。

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

ステップ 1.1.2.10.2.3

$3$ を $3 (x) + 3 (- 3)$ で因数分解します。

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

ステップ 1.1.2.10.2.4

共通因数を約分します。

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

ステップ 1.1.2.10.2.5

式を書き換えます。

$1 - 4 \frac{1}{x - 3}$

ステップ 1.1.2.11

$- 4$ と $\frac{1}{x - 3}$ をまとめます。

$1 + \frac{- 4}{x - 3}$

ステップ 1.1.2.12

分数の前に負数を移動させます。

$1 - \frac{4}{x - 3}$

ステップ 1.1.3

項をまとめます。

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ステップ 1.1.3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{4}{x - 3}$

ステップ 1.1.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x - 3 - 4}{x - 3}$

ステップ 1.1.3.3

$- 3$ から $4$ を引きます。

$f' (x) = \frac{x - 7}{x - 3}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{x - 7}{x - 3}$ です。

$\frac{x - 7}{x - 3}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x - 7}{x - 3} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x - 7}{x - 3} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$x - 7 = 0$

ステップ 2.3

方程式の両辺に $7$ を足します。

$x = 7$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{x - 7}{x - 3}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 3 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x - 4 \ln (3 x - 9)$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 7$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$7$ を $x$ に代入します。

$(7) - 4 \ln (3 (7) - 9)$

ステップ 4.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$3$ に $7$ をかけます。

$7 - 4 \ln (21 - 9)$

ステップ 4.1.2.2

$21$ から $9$ を引きます。

$7 - 4 \ln (12)$

ステップ 4.1.2.3

対数の中の $4$ を移動させて $- 4 \ln (12)$ を簡約します。

$7 - \ln (12^{4})$

ステップ 4.1.2.4

$12$ を $4$ 乗します。

$7 - \ln (20736)$

ステップ 4.2

$x = 3$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$3$ を $x$ に代入します。

$(3) - 4 \ln (3 (3) - 9)$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

$3$ に $3$ をかけます。

$3 - 4 \ln (9 - 9)$

ステップ 4.2.2.1.2

$9$ から $9$ を引きます。

$3 - 4 \ln (0)$

ステップ 4.2.2.1.3

0の自然対数は未定義です。

未定義

$3 - 4 \ln (0)$

ステップ 4.2.2.2

0の自然対数は未定義です。

未定義

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(7, 7 - \ln (20736))$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例