微分積分例

$y = x + \sin (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f' (x) = 1 + \cos (x)$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $1 + \cos (x)$ です。

$1 + \cos (x)$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $1 + \cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$1 + \cos (x) = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\cos (x) = - 1$

ステップ 2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- 1)$

ステップ 2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$\arccos (- 1)$ の厳密値は $π$ です。

$x = π$

ステップ 2.5

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - π$

ステップ 2.6

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = π$

ステップ 2.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.8

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x + \sin (x)$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = π$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$π$ を $x$ に代入します。

$(π) + \sin (π)$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$π + \sin (0)$

ステップ 4.1.2.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$π + 0$

ステップ 4.1.2.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$π$

ステップ 4.2

$x = 3 π$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$3 π$ を $x$ に代入します。

$(3 π) + \sin (3 π)$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$3 π + \sin (π)$

ステップ 4.2.2.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$3 π + \sin (0)$

ステップ 4.2.2.1.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$3 π + 0$

ステップ 4.2.2.2

$3 π$ と $0$ をたし算します。

$3 π$

ステップ 4.3

$x = 5 π$ での値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$5 π$ を $x$ に代入します。

$(5 π) + \sin (5 π)$

ステップ 4.3.2

簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$5 π + \sin (π)$

ステップ 4.3.2.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$5 π + \sin (0)$

ステップ 4.3.2.1.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$5 π + 0$

ステップ 4.3.2.2

$5 π$ と $0$ をたし算します。

$5 π$

ステップ 4.4

$x = 7 π$ での値を求めます。

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ステップ 4.4.1

$7 π$ を $x$ に代入します。

$(7 π) + \sin (7 π)$

ステップ 4.4.2

簡約します。

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ステップ 4.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.4.2.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$7 π + \sin (π)$

ステップ 4.4.2.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$7 π + \sin (0)$

ステップ 4.4.2.1.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$7 π + 0$

ステップ 4.4.2.2

$7 π$ と $0$ をたし算します。

$7 π$

ステップ 4.5

$x = 9 π$ での値を求めます。

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ステップ 4.5.1

$9 π$ を $x$ に代入します。

$(9 π) + \sin (9 π)$

ステップ 4.5.2

簡約します。

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ステップ 4.5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.5.2.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$9 π + \sin (π)$

ステップ 4.5.2.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$9 π + \sin (0)$

ステップ 4.5.2.1.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$9 π + 0$

ステップ 4.5.2.2

$9 π$ と $0$ をたし算します。

$9 π$

ステップ 4.6

点のすべてを一覧にします。

$(π, π), (3 π, 3 π), (5 π, 5 π), (7 π, 7 π), (9 π, 9 π)$

ステップ 5

微分積分 例

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