微分積分例

$f (x) = x^{3} - 4$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 0$

ステップ 1.1.4

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2}$ です。

$3 x^{2}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} = 0$

ステップ 2.2

$3 x^{2} = 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1

$3 x^{2} = 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 2.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{0}{3}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.4

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.4.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0$ です。

$0$

ステップ 4

微分係数 $f' (x) = 3 x^{2}$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = x^{3} - 4$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = 3 {(- 1)}^{2}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = 3 \cdot 1$

ステップ 5.2.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (- 1) = 3$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $3$ です。

$3$

ステップ 5.3

$x = - 1$ で微分係数は $3$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, 0)$ で増加

ステップ 6

区間 $(0, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = 3 {(1)}^{2}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 3 \cdot 1$

ステップ 6.2.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 3$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $3$ です。

$3$

ステップ 6.3

$x = 1$ で微分係数は $3$ です。これは正の値なので、関数は $(0, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(0, \infty)$ で増加

ステップ 7

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, 0), (0, \infty)$ で増加

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例