微分積分例

$f (x) = x^{3} + 3 x + 5$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} + 3 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} + 3 + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 3 + 0$

ステップ 1.1.3.2

$3 x^{2} + 3$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} + 3$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} + 3$ です。

$3 x^{2} + 3$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} + 3 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$3 x^{2} = - 3$

ステップ 2.3

$3 x^{2} = - 3$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$3 x^{2} = - 3$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 3}{3}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 3}{3}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 3}{3}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$- 3$ を $3$ で割ります。

$x^{2} = - 1$

ステップ 2.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 1}$

ステップ 2.5

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i$

ステップ 2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i$

ステップ 2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i$

ステップ 2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i, - i$

ステップ 3

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 4

微分係数 $f' (x) = 3 x^{2} + 3$ を $0$ または未定義にする点はありません。 $f (x) = x^{3} + 3 x + 5$ の増加・減少を確認する区間は $(- \infty, \infty)$ です。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, \infty)$ から $1$ などの任意の数を微分係数 $f' (x) = 3 x^{2} + 3$ に代入し、結果が負か正か確認します。結果が負ならば、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で減少します。結果が正ならば、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で増加しています。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} + 3$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 3 \cdot 1 + 3$

ステップ 5.2.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 3 + 3$

ステップ 5.2.2

$3$ と $3$ をたし算します。

$f' (1) = 6$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $6$ です。

$6$

ステップ 6

$1$ を $f' (x) = 3 x^{2} + 3$ に代入した結果は $6$ です。これは正なので、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で増加します。

$3 x^{2} + 3 > 0$ なので $(- \infty, \infty)$ で増加

ステップ 7

区間 $(- \infty, \infty)$ で増加することは、関数が常に増加しているという意味です。

常に増加

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例