微分積分例

$f (x) = x^{2} - 2$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{2} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.3

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 1.1.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 2 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x$ です。

$2 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x = 0$

ステップ 2.2

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{2}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0$ です。

$0$

ステップ 4

微分係数 $f' (x) = 2 x$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = x^{2} - 2$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = 2 (- 1)$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = - 2$

ステップ 5.2.2

最終的な答えは $- 2$ です。

$- 2$

ステップ 5.3

$x = - 1$ で微分係数は $- 2$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, 0)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, 0)$ で減少

ステップ 6

区間 $(0, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = 2 (1)$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 2$

ステップ 6.2.2

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 6.3

$x = 1$ で微分係数は $2$ です。これは正の値なので、関数は $(0, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(0, \infty)$ で増加

ステップ 7

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(0, \infty)$ で増加

$(- \infty, 0)$ で減少

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例