微分積分 例

${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{3}}}$および${\displaystyle g\left(x\right)=x+2}$のとき、${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$は${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$であるという積の法則を使って微分します。

微分します。

${\displaystyle -1}$を公分母のある分数として書くために、${\displaystyle \frac{3}{3}}$を掛けます。

${\displaystyle -1}$と${\displaystyle \frac{3}{3}}$をまとめます。

公分母の分子をまとめます。

分子を簡約します。

分数の前に負数を移動させます。

${\displaystyle \frac{1}{3}}$と${\displaystyle x^{-\frac{2}{3}}}$をまとめます。

負の指数法則${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$を利用して${\displaystyle x^{-\frac{2}{3}}}$を分母に移動させます。

簡約します。

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

Since ${\displaystyle 3,3x^{\frac{2}{3}},1}$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part ${\displaystyle 3,3,1}$ then find LCM for the variable part ${\displaystyle x^{\frac{2}{3}}}$.

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

${\displaystyle 3}$には、${\displaystyle 1}$と${\displaystyle 3}$以外に因数がないため。

数${\displaystyle 1}$は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

${\displaystyle 3,3,1}$の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

${\displaystyle x^{\frac{2}{3}}}$の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

${\displaystyle 3,3x^{\frac{2}{3}},1}$の最小公倍数は数値部分${\displaystyle 3}$に変数部分を掛けたものです。

${\displaystyle \frac{4x^{\frac{1}{3}}}{3}+\frac{2}{3x^{\frac{2}{3}}}=0}$の各項に${\displaystyle 3x^{\frac{2}{3}}}$を掛けます。

左辺を簡約します。

右辺を簡約します。

方程式の両辺から${\displaystyle 2}$を引きます。

${\displaystyle 4x=-2}$の各項を${\displaystyle 4}$で割り、簡約します。

法則${\displaystyle x^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{x^m}}$を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

法則${\displaystyle x^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{x^m}}$を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

${\displaystyle 1}$に乗じたものは底そのものです。

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

方程式の各辺を簡約します。

${\displaystyle x}$について解きます。

各項を簡約します。

分数をまとめます。

最終的な答えは${\displaystyle 2}$です。