微分積分例

$f (x) = x^{2} {(x + 3)}^{3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = {(x + 3)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{3}] + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 3$ とします。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 3$ で置き換えます。

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.3

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} \cdot 1) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.4.2

$3$ に $1$ をかけます。

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + {(x + 3)}^{3} (2 x)$

ステップ 1.1.3.6

$2$ を ${(x + 3)}^{3}$ の左に移動させます。

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + 2 \cdot {(x + 3)}^{3} x$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

$x {(x + 3)}^{2}$ を $x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1.1

$x {(x + 3)}^{2}$ を $x^{2} (3 {(x + 3)}^{2})$ で因数分解します。

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + 2 {(x + 3)}^{3} x$

ステップ 1.1.4.1.2

$x {(x + 3)}^{2}$ を $2 {(x + 3)}^{3} x$ で因数分解します。

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x + 3)}^{2} (2 (x + 3))$

ステップ 1.1.4.1.3

$x {(x + 3)}^{2}$ を $x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x + 3)}^{2} (2 (x + 3))$ で因数分解します。

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3) + 2 (x + 3))$

ステップ 1.1.4.2

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$x {(x + 3)}^{2} (3 x + 2 (x + 3))$

ステップ 1.1.4.3

${(x + 3)}^{2}$ を $(x + 3) (x + 3)$ に書き換えます。

$x ((x + 3) (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

ステップ 1.1.4.4

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 3) (x + 3)$ を展開します。

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ステップ 1.1.4.4.1

分配則を当てはめます。

$x (x (x + 3) + 3 (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

ステップ 1.1.4.4.2

分配則を当てはめます。

$x (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

ステップ 1.1.4.4.3

分配則を当てはめます。

$x (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

ステップ 1.1.4.5

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.1.4.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.5.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

ステップ 1.1.4.5.1.2

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$x (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

ステップ 1.1.4.5.1.3

$3$ に $3$ をかけます。

$x (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) (3 x + 2 (x + 3))$

ステップ 1.1.4.5.2

$3 x$ と $3 x$ をたし算します。

$x (x^{2} + 6 x + 9) (3 x + 2 (x + 3))$

ステップ 1.1.4.6

分配則を当てはめます。

$(x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

ステップ 1.1.4.7

簡約します。

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ステップ 1.1.4.7.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.7.1.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.7.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(x^{1} x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

ステップ 1.1.4.7.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(x^{1 + 2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

ステップ 1.1.4.7.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$(x^{3} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

ステップ 1.1.4.7.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$(x^{3} + 6 x \cdot x + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

ステップ 1.1.4.7.3

$9$ を $x$ の左に移動させます。

$(x^{3} + 6 x \cdot x + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

ステップ 1.1.4.8

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.8.1

$x$ を移動させます。

$(x^{3} + 6 (x \cdot x) + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

ステップ 1.1.4.8.2

$x$ に $x$ をかけます。

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 (x + 3))$

ステップ 1.1.4.9

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.4.9.1

分配則を当てはめます。

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 x + 2 \cdot 3)$

ステップ 1.1.4.9.2

$2$ に $3$ をかけます。

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 x + 6)$

ステップ 1.1.4.10

$3 x$ と $2 x$ をたし算します。

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (5 x + 6)$

ステップ 1.1.4.11

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (5 x + 6)$ を展開します。

$x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

ステップ 1.1.4.12

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.4.12.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$5 x^{3} x + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

ステップ 1.1.4.12.2

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.1.4.12.2.1

$x$ を移動させます。

$5 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

ステップ 1.1.4.12.2.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.12.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$5 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

ステップ 1.1.4.12.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

ステップ 1.1.4.12.2.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$5 x^{4} + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

ステップ 1.1.4.12.3

$6$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$5 x^{4} + 6 \cdot x^{3} + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

ステップ 1.1.4.12.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

ステップ 1.1.4.12.5

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.1.4.12.5.1

$x$ を移動させます。

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

ステップ 1.1.4.12.5.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 1.1.4.12.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 (x^{1} x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

ステップ 1.1.4.12.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{1 + 2} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

ステップ 1.1.4.12.5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

ステップ 1.1.4.12.6

$6$ に $5$ をかけます。

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

ステップ 1.1.4.12.7

$6$ に $6$ をかけます。

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

ステップ 1.1.4.12.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 x \cdot x + 9 x \cdot 6$

ステップ 1.1.4.12.9

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.1.4.12.9.1

$x$ を移動させます。

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 (x \cdot x) + 9 x \cdot 6$

ステップ 1.1.4.12.9.2

$x$ に $x$ をかけます。

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 x^{2} + 9 x \cdot 6$

ステップ 1.1.4.12.10

$9$ に $5$ をかけます。

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 9 x \cdot 6$

ステップ 1.1.4.12.11

$6$ に $9$ をかけます。

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 54 x$

ステップ 1.1.4.13

$6 x^{3}$ と $30 x^{3}$ をたし算します。

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 54 x$

ステップ 1.1.4.14

$36 x^{2}$ と $45 x^{2}$ をたし算します。

$f' (x) = 5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$ です。

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$x$ を $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$x$ を $5 x^{4}$ で因数分解します。

$x (5 x^{3}) + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$

ステップ 2.2.1.2

$x$ を $36 x^{3}$ で因数分解します。

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + 81 x^{2} + 54 x = 0$

ステップ 2.2.1.3

$x$ を $81 x^{2}$ で因数分解します。

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + x (81 x) + 54 x = 0$

ステップ 2.2.1.4

$x$ を $54 x$ で因数分解します。

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + x (81 x) + x \cdot 54 = 0$

ステップ 2.2.1.5

$x$ を $x (5 x^{3}) + x (36 x^{2})$ で因数分解します。

$x (5 x^{3} + 36 x^{2}) + x (81 x) + x \cdot 54 = 0$

ステップ 2.2.1.6

$x$ を $x (5 x^{3} + 36 x^{2}) + x (81 x)$ で因数分解します。

$x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x) + x \cdot 54 = 0$

ステップ 2.2.1.7

$x$ を $x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x) + x \cdot 54$ で因数分解します。

$x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54) = 0$

ステップ 2.2.2

有理根検定を用いて $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 5$

ステップ 2.2.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 54, \pm 10.8, \pm 2, \pm 0.4, \pm 27, \pm 5.4, \pm 3, \pm 0.6, \pm 18, \pm 3.6, \pm 6, \pm 1.2, \pm 9, \pm 1.8$

ステップ 2.2.2.3

$- 3$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 3$ は多項式の根です。

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ステップ 2.2.2.3.1

$- 3$ を多項式に代入します。

$5 {(- 3)}^{3} + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

ステップ 2.2.2.3.2

$- 3$ を $3$ 乗します。

$5 \cdot - 27 + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

ステップ 2.2.2.3.3

$5$ に $- 27$ をかけます。

$- 135 + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

ステップ 2.2.2.3.4

$- 3$ を $2$ 乗します。

$- 135 + 36 \cdot 9 + 81 \cdot - 3 + 54$

ステップ 2.2.2.3.5

$36$ に $9$ をかけます。

$- 135 + 324 + 81 \cdot - 3 + 54$

ステップ 2.2.2.3.6

$- 135$ と $324$ をたし算します。

$189 + 81 \cdot - 3 + 54$

ステップ 2.2.2.3.7

$81$ に $- 3$ をかけます。

$189 - 243 + 54$

ステップ 2.2.2.3.8

$189$ から $243$ を引きます。

$- 54 + 54$

ステップ 2.2.2.3.9

$- 54$ と $54$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.2.2.4

$- 3$ は既知の根なので、多項式を $x + 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54}{x + 3}$

ステップ 2.2.2.5

$5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ を $x + 3$ で割ります。

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ステップ 2.2.2.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$3$

$5 x^{3}$

$36 x^{2}$

$81 x$

$54$

ステップ 2.2.2.5.2

被除数 $5 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$5 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$

ステップ 2.2.2.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			+	$5 x^{3}$	+	$15 x^{2}$

ステップ 2.2.2.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $5 x^{3} + 15 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$

ステップ 2.2.2.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$

ステップ 2.2.2.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$

ステップ 2.2.2.5.7

被除数 $21 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$

ステップ 2.2.2.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$21 x^{2}$	+	$63 x$

ステップ 2.2.2.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $21 x^{2} + 63 x$ の符号をすべて変更します。

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$

ステップ 2.2.2.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$

ステップ 2.2.2.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$

ステップ 2.2.2.5.12

被除数 $18 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$

ステップ 2.2.2.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							+	$18 x$	+	$54$

ステップ 2.2.2.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $18 x + 54$ の符号をすべて変更します。

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							-	$18 x$	-	$54$

ステップ 2.2.2.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							-	$18 x$	-	$54$
										$0$

ステップ 2.2.2.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$5 x^{2} + 21 x + 18$

ステップ 2.2.2.6

$5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ を因数の集合として書き換えます。

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 21 x + 18)) = 0$

ステップ 2.2.3

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 5 \cdot 18 = 90$ で和が $b = 21$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1.1.1

$21$ を $21 x$ で因数分解します。

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 21 (x) + 18)) = 0$

ステップ 2.2.3.1.1.1.2

$21$ を $6$ プラス $15$ に書き換える

$x ((x + 3) (5 x^{2} + (6 + 15) x + 18)) = 0$

ステップ 2.2.3.1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 6 x + 15 x + 18)) = 0$

ステップ 2.2.3.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$x ((x + 3) ((5 x^{2} + 6 x) + 15 x + 18)) = 0$

ステップ 2.2.3.1.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x ((x + 3) (x (5 x + 6) + 3 (5 x + 6))) = 0$

ステップ 2.2.3.1.1.3

最大公約数 $5 x + 6$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$x ((x + 3) ((5 x + 6) (x + 3))) = 0$

ステップ 2.2.3.1.2

不要な括弧を削除します。

$x ((x + 3) (5 x + 6) (x + 3)) = 0$

ステップ 2.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$x (x + 3) (5 x + 6) (x + 3) = 0$

ステップ 2.2.4

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$x + 3$ を $1$ 乗します。

$x ((x + 3) (x + 3)) (5 x + 6) = 0$

ステップ 2.2.4.2

$x + 3$ を $1$ 乗します。

$x ((x + 3) (x + 3)) (5 x + 6) = 0$

ステップ 2.2.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x {(x + 3)}^{1 + 1} (5 x + 6) = 0$

ステップ 2.2.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$x {(x + 3)}^{2} (5 x + 6) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$5 x + 6 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

${(x + 3)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

${(x + 3)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について ${(x + 3)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 2.5.2.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.6

$5 x + 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$5 x + 6$ が $0$ に等しいとします。

$5 x + 6 = 0$

ステップ 2.6.2

$x$ について $5 x + 6 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$5 x = - 6$

ステップ 2.6.2.2

$5 x = - 6$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1

$5 x = - 6$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

ステップ 2.6.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

ステップ 2.6.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 6}{5}$

ステップ 2.6.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{6}{5}$

ステップ 2.7

最終解は $x {(x + 3)}^{2} (5 x + 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 3, - \frac{6}{5}$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, - 3, - \frac{6}{5}$ です。

$0, - 3, - \frac{6}{5}$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - \frac{6}{5}) \cup (- \frac{6}{5}, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 3)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = 5 {(- 4)}^{4} + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 4$ を $4$ 乗します。

$f' (- 4) = 5 \cdot 256 + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

ステップ 5.2.1.2

$5$ に $256$ をかけます。

$f' (- 4) = 1280 + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

ステップ 5.2.1.3

$- 4$ を $3$ 乗します。

$f' (- 4) = 1280 + 36 \cdot - 64 + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

ステップ 5.2.1.4

$36$ に $- 64$ をかけます。

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

ステップ 5.2.1.5

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 81 \cdot 16 + 54 (- 4)$

ステップ 5.2.1.6

$81$ に $16$ をかけます。

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 1296 + 54 (- 4)$

ステップ 5.2.1.7

$54$ に $- 4$ をかけます。

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 1296 - 216$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$1280$ から $2304$ を引きます。

$f' (- 4) = - 1024 + 1296 - 216$

ステップ 5.2.2.2

$- 1024$ と $1296$ をたし算します。

$f' (- 4) = 272 - 216$

ステップ 5.2.2.3

$272$ から $216$ を引きます。

$f' (- 4) = 56$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $56$ です。

$56$

ステップ 5.3

$x = - 4$ で微分係数は $56$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, - 3)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 3)$ で増加

ステップ 6

区間 $(- 3, - \frac{6}{5})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 2.1$ で置換えます。

$f' (- 2.1) = 5 {(- 2.1)}^{4} + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 2.1$ を $4$ 乗します。

$f' (- 2.1) = 5 \cdot 19.4481 + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

ステップ 6.2.1.2

$5$ に $19.4481$ をかけます。

$f' (- 2.1) = 97.2405 + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

ステップ 6.2.1.3

$- 2.1$ を $3$ 乗します。

$f' (- 2.1) = 97.2405 + 36 \cdot - 9.261 + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

ステップ 6.2.1.4

$36$ に $- 9.261$ をかけます。

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

ステップ 6.2.1.5

$- 2.1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 81 \cdot 4.41 + 54 (- 2.1)$

ステップ 6.2.1.6

$81$ に $4.41$ をかけます。

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 357.21 + 54 (- 2.1)$

ステップ 6.2.1.7

$54$ に $- 2.1$ をかけます。

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 357.21 - 113.4$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$97.2405$ から $333.396$ を引きます。

$f' (- 2.1) = - 236.1555 + 357.21 - 113.4$

ステップ 6.2.2.2

$- 236.1555$ と $357.21$ をたし算します。

$f' (- 2.1) = 121.0545 - 113.4$

ステップ 6.2.2.3

$121.0545$ から $113.4$ を引きます。

$f' (- 2.1) = 7.6545$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $7.6545$ です。

$7.6545$

ステップ 6.3

$x = - 2.1$ で微分係数は $7.6545$ です。これは正の値なので、関数は $(- 3, - \frac{6}{5})$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- 3, - \frac{6}{5})$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 1.2, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 0.6$ で置換えます。

$f' (- 0.6) = 5 {(- 0.6)}^{4} + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$- 0.6$ を $4$ 乗します。

$f' (- 0.6) = 5 \cdot 0.1296 + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

ステップ 7.2.1.2

$5$ に $0.1296$ をかけます。

$f' (- 0.6) = 0.648 + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

ステップ 7.2.1.3

$- 0.6$ を $3$ 乗します。

$f' (- 0.6) = 0.648 + 36 \cdot - 0.216 + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

ステップ 7.2.1.4

$36$ に $- 0.216$ をかけます。

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

ステップ 7.2.1.5

$- 0.6$ を $2$ 乗します。

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 81 \cdot 0.36 + 54 (- 0.6)$

ステップ 7.2.1.6

$81$ に $0.36$ をかけます。

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 29.16 + 54 (- 0.6)$

ステップ 7.2.1.7

$54$ に $- 0.6$ をかけます。

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 29.16 - 32.4$

ステップ 7.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$0.648$ から $7.776$ を引きます。

$f' (- 0.6) = - 7.128 + 29.16 - 32.4$

ステップ 7.2.2.2

$- 7.128$ と $29.16$ をたし算します。

$f' (- 0.6) = 22.032 - 32.4$

ステップ 7.2.2.3

$22.032$ から $32.4$ を引きます。

$f' (- 0.6) = - 10.368$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 10.368$ です。

$- 10.368$

ステップ 7.3

$x = - 0.6$ で微分係数は $- 10.368$ です。これは負の値なので、関数は $(- 1.2, 0)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \frac{6}{5}, 0)$ で減少

ステップ 8

区間 $(0, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = 5 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 5 \cdot 1 + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

ステップ 8.2.1.2

$5$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 5 + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

ステップ 8.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 5 + 36 \cdot 1 + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

ステップ 8.2.1.4

$36$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 5 + 36 + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

ステップ 8.2.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 5 + 36 + 81 \cdot 1 + 54 (1)$

ステップ 8.2.1.6

$81$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 5 + 36 + 81 + 54 (1)$

ステップ 8.2.1.7

$54$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 5 + 36 + 81 + 54$

ステップ 8.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$5$ と $36$ をたし算します。

$f' (1) = 41 + 81 + 54$

ステップ 8.2.2.2

$41$ と $81$ をたし算します。

$f' (1) = 122 + 54$

ステップ 8.2.2.3

$122$ と $54$ をたし算します。

$f' (1) = 176$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $176$ です。

$176$

ステップ 8.3

$x = 1$ で微分係数は $176$ です。これは正の値なので、関数は $(0, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(0, \infty)$ で増加

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - 3), (- 3, - \frac{6}{5}), (0, \infty)$ で増加

$(- \frac{6}{5}, 0)$ で減少

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例