微分積分例

$f (x) = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$2 x - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$2 x - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.6

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.2.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 x - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.6.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$2 x - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 x - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.8

$x$ を $1$ 乗します。

$2 x - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.10

$1$ から $4$ を引きます。

$2 x - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.11

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$2 x + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.12

$\frac{1}{x^{2}}$ に $0$ をかけます。

$2 x + 2 x^{- 3} + 0$

ステップ 1.1.2.13

$2 x^{- 3}$ と $0$ をたし算します。

$2 x + 2 x^{- 3}$

ステップ 1.1.3

簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 x + 2 \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 1.1.3.2

$2$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$f' (x) = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x + \frac{2}{x^{3}}$ です。

$2 x + \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$

ステップ 2.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, x^{3}, 1$

ステップ 2.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{3}$

ステップ 2.3

$2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ の各項に $x^{3}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.3.1

$2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ の各項に $x^{3}$ を掛けます。

$2 x \cdot x^{3} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1.1

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.2.1.1.1

$x^{3}$ を移動させます。

$2 (x^{3} x) + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

ステップ 2.3.2.1.1.2

$x^{3}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 2.3.2.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{3} x^{1}) + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

ステップ 2.3.2.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{3 + 1} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

ステップ 2.3.2.1.1.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$2 x^{4} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 x^{4} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

ステップ 2.3.2.1.2.2

式を書き換えます。

$2 x^{4} + 2 = 0 x^{3}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$0$ に $x^{3}$ をかけます。

$2 x^{4} + 2 = 0$

ステップ 2.4

方程式を解きます。

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ステップ 2.4.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$2 x^{4} = - 2$

ステップ 2.4.2

$2 x^{4} = - 2$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$2 x^{4} = - 2$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x^{4}}{2} = \frac{- 2}{2}$

ステップ 2.4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{4}}{2} = \frac{- 2}{2}$

ステップ 2.4.2.2.1.2

$x^{4}$ を $1$ で割ります。

$x^{4} = \frac{- 2}{2}$

ステップ 2.4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1

$- 2$ を $2$ で割ります。

$x^{4} = - 1$

ステップ 2.4.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt[4]{- 1}$

ステップ 2.4.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.4.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt[4]{- 1}$

ステップ 2.4.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt[4]{- 1}$

ステップ 2.4.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt[4]{- 1}, - \sqrt[4]{- 1}$

ステップ 2.5

$2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ が真にならない解を除外します。

$解がありません$

ステップ 3

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 4

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{2}{x^{3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{3} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 4.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 5

微分係数 $f' (x) = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = 2 (- 1) + \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = - 2 + \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f' (- 1) = - 2 + \frac{2}{- 1}$

ステップ 6.2.1.3

$2$ を $- 1$ で割ります。

$f' (- 1) = - 2 - 2$

ステップ 6.2.2

$- 2$ から $2$ を引きます。

$f' (- 1) = - 4$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 4$ です。

$- 4$

ステップ 6.3

$x = - 1$ で微分係数は $- 4$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, 0)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, 0)$ で減少

ステップ 7

区間 $(0, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = 2 (1) + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 2 + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 2 + \frac{2}{1}$

ステップ 7.2.1.3

$2$ を $1$ で割ります。

$f' (1) = 2 + 2$

ステップ 7.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$f' (1) = 4$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $4$ です。

$4$

ステップ 7.3

$x = 1$ で微分係数は $4$ です。これは正の値なので、関数は $(0, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(0, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(0, \infty)$ で増加

$(- \infty, 0)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

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