微分積分例

$f (x) = - \sqrt{x + 3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 3}$ を ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.1.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$f' (x) = - \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 3$ とします。

$f' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 3))$

ステップ 1.1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 3$ で置き換えます。

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))$

ステップ 1.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

ステップ 1.1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

ステップ 1.1.5

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

ステップ 1.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

ステップ 1.1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

ステップ 1.1.7

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

ステップ 1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = - (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))$

ステップ 1.1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = - (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))$

ステップ 1.1.8

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

ステップ 1.1.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3))$

ステップ 1.1.10

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0)$

ステップ 1.1.11

式を簡約します。

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ステップ 1.1.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 1.1.11.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$- \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$1 = 0$

ステップ 2.3

$1 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 4

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 4.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 4.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(x + 3)}^{1}}}$

ステップ 4.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$- \frac{1}{2 \sqrt{x + 3}}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 \sqrt{x + 3} = 0$

ステップ 4.3

$x$ について解きます。

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ステップ 4.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(2 \sqrt{x + 3})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 3}$ を ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.2.1

${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.3.2.2.1.1

積の法則を $2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$2^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$4 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.3

${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$4 {(x + 3)}^{1} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.4

簡約します。

$4 (x + 3) = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.5

分配則を当てはめます。

$4 x + 4 \cdot 3 = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.6

$4$ に $3$ をかけます。

$4 x + 12 = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 x + 12 = 0$

ステップ 4.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 4.3.3.1

方程式の両辺から $12$ を引きます。

$4 x = - 12$

ステップ 4.3.3.2

$4 x = - 12$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.3.3.2.1

$4 x = - 12$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

ステップ 4.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

ステップ 4.3.3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 12}{4}$

ステップ 4.3.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.3.2.3.1

$- 12$ を $4$ で割ります。

$x = - 3$

ステップ 4.4

$\sqrt{x + 3}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x + 3 < 0$

ステップ 4.5

不等式の両辺から $3$ を引きます。

$x < - 3$

ステップ 4.6

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

ステップ 5

微分係数 $f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = - \sqrt{x + 3}$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$ です。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 3)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = - \frac{1}{2 {((- 4) + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 4$ と $3$ をたし算します。

$f' (- 4) = - \frac{1}{2 {(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.2.1.2

${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ に書き換えます。

$f' (- 4) = - \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

ステップ 6.2.1.3

指数を求めます。

$f' (- 4) = - \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

ステップ 6.2.1.4

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$f' (- 4) = - \frac{1}{2 i}$

ステップ 6.2.2

$\frac{1}{2 i}$ の分子と分母に $2 i$ の共役を掛け、分母を実数にします。

$f' (- 4) = - (\frac{1}{2 i} \cdot \frac{i}{i})$

ステップ 6.2.3

掛け算します。

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ステップ 6.2.3.1

まとめる。

$f' (- 4) = - \frac{1 i}{2 i i}$

ステップ 6.2.3.2

$i$ に $1$ をかけます。

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 i i}$

ステップ 6.2.3.3

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.3.3.1

括弧を付けます。

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 (i i)}$

ステップ 6.2.3.3.2

$i$ を $1$ 乗します。

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 (i i)}$

ステップ 6.2.3.3.3

$i$ を $1$ 乗します。

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 (i i)}$

ステップ 6.2.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 i^{1 + 1}}$

ステップ 6.2.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 i^{2}}$

ステップ 6.2.3.3.6

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 \cdot - 1}$

ステップ 6.2.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 4) = - \frac{i}{- 2}$

ステップ 6.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 4) = \frac{i}{2}$

ステップ 6.2.6

最終的な答えは $\frac{i}{2}$ です。

$\frac{i}{2}$

ステップ 6.3

$x = - 4$ で微分係数は $\frac{i}{2}$ です。これは虚数を含むので、関数は $(- \infty, - 3)$ 上にありません。

$f' (x)$ が虚数なので、関数は $(- \infty, - 3)$ 上で実数ではありません。

ステップ 7

区間 $(- 3, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = - \frac{1}{2 {((- 2) + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$f' (- 2) = - \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (- 2) = - \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (- 2) = - \frac{1}{2}$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- \frac{1}{2}$ です。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 7.3

$x = - 2$ で微分係数は $- \frac{1}{2}$ です。これは負の値なので、関数は $(- 3, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- 3, \infty)$ で減少

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- 3, \infty)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例