微分積分例

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 4}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$3$ を $x^{2} - 4$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{3 \cdot ((x^{2} - 4) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - x^{3} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - x^{3} (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - 2 x^{3} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - 2 (x \cdot x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - 2 x^{1 + 3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.5

$1$ と $3$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6

簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{(3 x^{2} + 3 \cdot - 4) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot (- 4 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.6.3.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.6.3.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot (- 4 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{3 x^{2 + 2} + 3 \cdot (- 4 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.1.1.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{3 x^{4} + 3 \cdot (- 4 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.1.2

$3$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = \frac{3 x^{4} - 12 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.2

$3 x^{4}$ から $2 x^{4}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{x^{4} - 12 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.4

$x^{2}$ を $x^{4} - 12 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.4.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} - 12 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.4.2

$x^{2}$ を $- 12 x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 12}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.4.3

$x^{2}$ を $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 12$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.5

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.6.5.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.6.5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

ステップ 1.1.6.5.3

積の法則を $(x + 2) (x - 2)$ に当てはめます。

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ です。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$x^{2} (x^{2} - 12) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 12 = 0$

ステップ 2.3.2

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.3.2.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.3.2.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.3.2.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.3.2.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.3.3

$x^{2} - 12$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.3.1

$x^{2} - 12$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 12 = 0$

ステップ 2.3.3.2

$x$ について $x^{2} - 12 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.3.2.1

方程式の両辺に $12$ を足します。

$x^{2} = 12$

ステップ 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{12}$

ステップ 2.3.3.2.3

$\pm \sqrt{12}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.3.1

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 2.3.3.2.3.1.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \pm \sqrt{4 (3)}$

ステップ 2.3.3.2.3.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

ステップ 2.3.3.2.3.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2 \sqrt{3}$

ステップ 2.3.3.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.3.3.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2 \sqrt{3}$

ステップ 2.3.3.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2 \sqrt{3}$

ステップ 2.3.3.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

ステップ 2.3.4

最終解は $x^{2} (x^{2} - 12) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$ です。

$0, 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

ステップ 4

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 4.2.2

${(x + 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

${(x + 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 2)}^{2} = 0$

ステップ 4.2.2.2

$x$ について ${(x + 2)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 4.2.2.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 4.2.3

${(x - 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.2.3.1

${(x - 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 4.2.3.2

$x$ について ${(x - 2)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 4.2.3.2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 4.2.4

最終解は ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, 2$

ステップ 4.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = - 2, x = 2$

ステップ 5

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 2 \sqrt{3}) \cup (- 2 \sqrt{3}, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, 2 \sqrt{3}) \cup (2 \sqrt{3}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 4.4641016$ で置換えます。

$f' (- 4.4641016) = \frac{{(- 4.4641016)}^{2} ({(- 4.4641016)}^{2} - 12)}{{((- 4.4641016) + 2)}^{2} {((- 4.4641016) - 2)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 4.4641016$ を $2$ 乗します。

$f' (- 4.4641016) = \frac{{(- 4.4641016)}^{2} (19.92820309 - 12)}{{(- 4.4641016 + 2)}^{2} {(- 4.4641016 - 2)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$19.92820309$ から $12$ を引きます。

$f' (- 4.4641016) = \frac{{(- 4.4641016)}^{2} \cdot 7.92820309}{{(- 4.4641016 + 2)}^{2} {(- 4.4641016 - 2)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.3

$- 4.4641016$ を $2$ 乗します。

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{(- 4.4641016 + 2)}^{2} {(- 4.4641016 - 2)}^{2}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 4.4641016$ と $2$ をたし算します。

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{(- 2.4641016)}^{2} {(- 4.4641016 - 2)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

$- 4.4641016$ から $2$ を引きます。

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{(- 2.4641016)}^{2} {(- 6.4641016)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.3

$- 2.4641016$ を $2$ 乗します。

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{6.07179669 {(- 6.4641016)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.4

$- 6.4641016$ を $2$ 乗します。

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{6.07179669 \cdot 41.78460949}$

ステップ 6.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$19.92820309$ に $7.92820309$ をかけます。

$f' (- 4.4641016) = \frac{157.99484145}{6.07179669 \cdot 41.78460949}$

ステップ 6.2.3.2

$6.07179669$ に $41.78460949$ をかけます。

$f' (- 4.4641016) = \frac{157.99484145}{253.70765383}$

ステップ 6.2.3.3

$157.99484145$ を $253.70765383$ で割ります。

$f' (- 4.4641016) = 0.62274369$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $0.62274369$ です。

$0.62274369$

ステップ 6.3

$x = - 4.4641016$ で微分係数は $0.62274369$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 3.4641016, - 2)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 2.7320508$ で置換えます。

$f' (- 2.7320508) = \frac{{(- 2.7320508)}^{2} ({(- 2.7320508)}^{2} - 12)}{{((- 2.7320508) + 2)}^{2} {((- 2.7320508) - 2)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$- 2.7320508$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2.7320508) = \frac{{(- 2.7320508)}^{2} (7.46410157 - 12)}{{(- 2.7320508 + 2)}^{2} {(- 2.7320508 - 2)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

$7.46410157$ から $12$ を引きます。

$f' (- 2.7320508) = \frac{{(- 2.7320508)}^{2} \cdot - 4.53589842}{{(- 2.7320508 + 2)}^{2} {(- 2.7320508 - 2)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.3

$- 2.7320508$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{(- 2.7320508 + 2)}^{2} {(- 2.7320508 - 2)}^{2}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$- 2.7320508$ と $2$ をたし算します。

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{(- 0.7320508)}^{2} {(- 2.7320508 - 2)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.2

$- 2.7320508$ から $2$ を引きます。

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{(- 0.7320508)}^{2} {(- 4.7320508)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.3

$- 0.7320508$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{0.53589837 {(- 4.7320508)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.4

$- 4.7320508$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{0.53589837 \cdot 22.39230477}$

ステップ 7.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$7.46410157$ に $- 4.53589842$ をかけます。

$f' (- 2.7320508) = \frac{- 33.85640658}{0.53589837 \cdot 22.39230477}$

ステップ 7.2.3.2

$0.53589837$ に $22.39230477$ をかけます。

$f' (- 2.7320508) = \frac{- 33.85640658}{11.99999971}$

ステップ 7.2.3.3

$- 33.85640658$ を $11.99999971$ で割ります。

$f' (- 2.7320508) = - 2.82136728$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $- 2.82136728$ です。

$- 2.82136728$

ステップ 7.3

$x = - 2.7320508$ で微分係数は $- 2.82136728$ です。これは負の値なので、関数は $(- 3.4641016, - 2)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- 2 \sqrt{3}, - 2)$ で減少

ステップ 8

区間 $(- 2, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} ({(- 1)}^{2} - 12)}{{((- 1) + 2)}^{2} {((- 1) - 2)}^{2}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} (1 - 12)}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.2

$1$ から $12$ を引きます。

$f' (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} \cdot - 11}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = \frac{1 \cdot - 11}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.4

$- 11$ に $1$ をかけます。

$f' (- 1) = \frac{- 11}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

ステップ 8.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$f' (- 1) = \frac{- 11}{1^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

ステップ 8.2.2.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$f' (- 1) = \frac{- 11}{1^{2} {(- 3)}^{2}}$

ステップ 8.2.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (- 1) = \frac{- 11}{1 {(- 3)}^{2}}$

ステップ 8.2.2.4

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = \frac{- 11}{1 \cdot 9}$

ステップ 8.2.2.5

$9$ に $1$ をかけます。

$f' (- 1) = \frac{- 11}{9}$

ステップ 8.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 1) = - \frac{11}{9}$

ステップ 8.2.4

最終的な答えは $- \frac{11}{9}$ です。

$- \frac{11}{9}$

ステップ 8.3

$x = - 1$ で微分係数は $- \frac{11}{9}$ です。これは負の値なので、関数は $(- 2, 0)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- 2, 0)$ で減少

ステップ 9

区間 $(0, 2)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = \frac{{(1)}^{2} ({(1)}^{2} - 12)}{{((1) + 2)}^{2} {((1) - 2)}^{2}}$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = \frac{1^{2} (1 - 12)}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

ステップ 9.2.1.2

$1$ から $12$ を引きます。

$f' (1) = \frac{1^{2} \cdot - 11}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

ステップ 9.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = \frac{1 \cdot - 11}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

ステップ 9.2.1.4

$- 11$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = \frac{- 11}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

ステップ 9.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (1) = \frac{- 11}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

ステップ 9.2.2.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f' (1) = \frac{- 11}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

ステップ 9.2.2.3

$3$ を $2$ 乗します。

$f' (1) = \frac{- 11}{9 {(- 1)}^{2}}$

ステップ 9.2.2.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (1) = \frac{- 11}{9 \cdot 1}$

ステップ 9.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.1

$9$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = \frac{- 11}{9}$

ステップ 9.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (1) = - \frac{11}{9}$

ステップ 9.2.4

最終的な答えは $- \frac{11}{9}$ です。

$- \frac{11}{9}$

ステップ 9.3

$x = 1$ で微分係数は $- \frac{11}{9}$ です。これは負の値なので、関数は $(0, 2)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, 2)$ で減少

ステップ 10

区間 $(2, 2 \sqrt{3})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $2.7320508$ で置換えます。

$f' (2.7320508) = \frac{{(2.7320508)}^{2} ({(2.7320508)}^{2} - 12)}{{((2.7320508) + 2)}^{2} {((2.7320508) - 2)}^{2}}$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1

$2.7320508$ を $2$ 乗します。

$f' (2.7320508) = \frac{{2.7320508}^{2} (7.46410157 - 12)}{{(2.7320508 + 2)}^{2} {(2.7320508 - 2)}^{2}}$

ステップ 10.2.1.2

$7.46410157$ から $12$ を引きます。

$f' (2.7320508) = \frac{{2.7320508}^{2} \cdot - 4.53589842}{{(2.7320508 + 2)}^{2} {(2.7320508 - 2)}^{2}}$

ステップ 10.2.1.3

$2.7320508$ を $2$ 乗します。

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{(2.7320508 + 2)}^{2} {(2.7320508 - 2)}^{2}}$

ステップ 10.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

$2.7320508$ と $2$ をたし算します。

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{4.7320508}^{2} {(2.7320508 - 2)}^{2}}$

ステップ 10.2.2.2

$2.7320508$ から $2$ を引きます。

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{4.7320508}^{2} \cdot {0.7320508}^{2}}$

ステップ 10.2.2.3

$4.7320508$ を $2$ 乗します。

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{22.39230477 \cdot {0.7320508}^{2}}$

ステップ 10.2.2.4

$0.7320508$ を $2$ 乗します。

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{22.39230477 \cdot 0.53589837}$

ステップ 10.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.1

$7.46410157$ に $- 4.53589842$ をかけます。

$f' (2.7320508) = \frac{- 33.85640658}{22.39230477 \cdot 0.53589837}$

ステップ 10.2.3.2

$22.39230477$ に $0.53589837$ をかけます。

$f' (2.7320508) = \frac{- 33.85640658}{11.99999971}$

ステップ 10.2.3.3

$- 33.85640658$ を $11.99999971$ で割ります。

$f' (2.7320508) = - 2.82136728$

ステップ 10.2.4

最終的な答えは $- 2.82136728$ です。

$- 2.82136728$

ステップ 10.3

$x = 2.7320508$ で微分係数は $- 2.82136728$ です。これは負の値なので、関数は $(2, 2 \sqrt{3})$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(2, 2 \sqrt{3})$ で減少

ステップ 11

区間 $(2 \sqrt{3}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $4.4641016$ で置換えます。

$f' (4.4641016) = \frac{{(4.4641016)}^{2} ({(4.4641016)}^{2} - 12)}{{((4.4641016) + 2)}^{2} {((4.4641016) - 2)}^{2}}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$4.4641016$ を $2$ 乗します。

$f' (4.4641016) = \frac{{4.4641016}^{2} (19.92820309 - 12)}{{(4.4641016 + 2)}^{2} {(4.4641016 - 2)}^{2}}$

ステップ 11.2.1.2

$19.92820309$ から $12$ を引きます。

$f' (4.4641016) = \frac{{4.4641016}^{2} \cdot 7.92820309}{{(4.4641016 + 2)}^{2} {(4.4641016 - 2)}^{2}}$

ステップ 11.2.1.3

$4.4641016$ を $2$ 乗します。

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{(4.4641016 + 2)}^{2} {(4.4641016 - 2)}^{2}}$

ステップ 11.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$4.4641016$ と $2$ をたし算します。

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{6.4641016}^{2} {(4.4641016 - 2)}^{2}}$

ステップ 11.2.2.2

$4.4641016$ から $2$ を引きます。

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{6.4641016}^{2} \cdot {2.4641016}^{2}}$

ステップ 11.2.2.3

$6.4641016$ を $2$ 乗します。

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{41.78460949 \cdot {2.4641016}^{2}}$

ステップ 11.2.2.4

$2.4641016$ を $2$ 乗します。

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{41.78460949 \cdot 6.07179669}$

ステップ 11.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.1

$19.92820309$ に $7.92820309$ をかけます。

$f' (4.4641016) = \frac{157.99484145}{41.78460949 \cdot 6.07179669}$

ステップ 11.2.3.2

$41.78460949$ に $6.07179669$ をかけます。

$f' (4.4641016) = \frac{157.99484145}{253.70765383}$

ステップ 11.2.3.3

$157.99484145$ を $253.70765383$ で割ります。

$f' (4.4641016) = 0.62274369$

ステップ 11.2.4

最終的な答えは $0.62274369$ です。

$0.62274369$

ステップ 11.3

$x = 4.4641016$ で微分係数は $0.62274369$ です。これは正の値なので、関数は $(2 \sqrt{3}, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(2 \sqrt{3}, \infty)$ で増加

ステップ 12

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - 2 \sqrt{3}), (2 \sqrt{3}, \infty)$ で増加

$(- 2 \sqrt{3}, - 2), (- 2, 0), (0, 2), (2, 2 \sqrt{3})$ で減少

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例