微分積分例

$f (x) = {(x + 5)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ および $g (x) = x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 5$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 5)$

ステップ 1.1.1.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 5)$

ステップ 1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x + 5$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 5)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 5)$

ステップ 1.1.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 5)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 5)$

ステップ 1.1.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 5)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 5)$

ステップ 1.1.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 5)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 5)$

ステップ 1.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 5)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 5)$

ステップ 1.1.5.2

$2$ から $3$ を引きます。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 5)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x + 5)$

ステップ 1.1.6

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 5)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x + 5)$

ステップ 1.1.6.2

$\frac{2}{3}$ と ${(x + 5)}^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 5)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5)$

ステップ 1.1.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 5)}^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5)$

ステップ 1.1.7

総和則では、 $x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))$

ステップ 1.1.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (5))$

ステップ 1.1.9

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + 0)$

ステップ 1.1.10

式を簡約します。

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ステップ 1.1.10.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

ステップ 1.1.10.2

$\frac{2}{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{2}{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}$ です。

$\frac{2}{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2}{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2}{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$2 = 0$

ステップ 2.3

$2 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 4

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 4.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 4.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{{(x + 5)}^{1}}}$

ステップ 4.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x + 5}}$

ステップ 4.2

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x + 5}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 \sqrt[3]{x + 5} = 0$

ステップ 4.3

$x$ について解きます。

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ステップ 4.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${(3 \sqrt[3]{x + 5})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 4.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x + 5}$ を ${(x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${(3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 4.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.2.1

${(3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 4.3.2.2.1.1

積の法則を $3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ に当てはめます。

$3^{3} {({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 4.3.2.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 {({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 4.3.2.2.1.3

${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$27 {(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 4.3.2.2.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$27 {(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 4.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$27 {(x + 5)}^{1} = 0^{3}$

ステップ 4.3.2.2.1.4

簡約します。

$27 (x + 5) = 0^{3}$

ステップ 4.3.2.2.1.5

分配則を当てはめます。

$27 x + 27 \cdot 5 = 0^{3}$

ステップ 4.3.2.2.1.6

$27$ に $5$ をかけます。

$27 x + 135 = 0^{3}$

ステップ 4.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$27 x + 135 = 0$

ステップ 4.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 4.3.3.1

方程式の両辺から $135$ を引きます。

$27 x = - 135$

ステップ 4.3.3.2

$27 x = - 135$ の各項を $27$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.3.3.2.1

$27 x = - 135$ の各項を $27$ で割ります。

$\frac{27 x}{27} = \frac{- 135}{27}$

ステップ 4.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.2.1

$27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{27 x}{27} = \frac{- 135}{27}$

ステップ 4.3.3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 135}{27}$

ステップ 4.3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.3.1

$- 135$ を $27$ で割ります。

$x = - 5$

ステップ 5

微分係数 $f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = {(x + 5)}^{\frac{2}{3}}$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$ です。

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 5)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 6$ で置換えます。

$f' (- 6) = \frac{2}{3 {((- 6) + 5)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 6$ と $5$ をたし算します。

$f' (- 6) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$f' (- 6) = \frac{2}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 6.2.1.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (- 6) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

ステップ 6.2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$f' (- 6) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

ステップ 6.2.1.4.2

式を書き換えます。

$f' (- 6) = \frac{2}{3 (- 1)}$

ステップ 6.2.1.5

指数を求めます。

$f' (- 6) = \frac{2}{3 \cdot - 1}$

ステップ 6.2.2

式を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 6) = \frac{2}{- 3}$

ステップ 6.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 6) = - \frac{2}{3}$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- \frac{2}{3}$ です。

$- \frac{2}{3}$

ステップ 6.3

$x = - 6$ で微分係数は $- \frac{2}{3}$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - 5)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 5)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 5, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = \frac{2}{3 {((- 4) + 5)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$- 4$ と $5$ をたし算します。

$f' (- 4) = \frac{2}{3 \cdot 1^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 7.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (- 4) = \frac{2}{3 \cdot 1}$

ステップ 7.2.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (- 4) = \frac{2}{3}$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $\frac{2}{3}$ です。

$\frac{2}{3}$

ステップ 7.3

$x = - 4$ で微分係数は $\frac{2}{3}$ です。これは正の値なので、関数は $(- 5, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- 5, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- 5, \infty)$ で増加

$(- \infty, - 5)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例