微分積分例

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$\frac{1}{x^{2} - 4}$ を ${(x^{2} - 4)}^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 4)}^{- 1})$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 4$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

ステップ 1.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 4$ で置き換えます。

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

ステップ 1.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))$

ステップ 1.1.3.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + 0)$

ステップ 1.1.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x)$

ステップ 1.1.3.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = - 2 {(x^{2} - 4)}^{- 2} x$

ステップ 1.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

ステップ 1.1.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

$- 2$ と $\frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

ステップ 1.1.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

ステップ 1.1.5.3

$x$ と $\frac{2}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.5.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ です。

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$2 x = 0$

ステップ 2.3

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0$ です。

$0$

ステップ 4

微分係数が未定義になる場所を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x^{2} - 4)}^{2} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

${(x^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

${((x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.3

積の法則を $(x + 2) (x - 2)$ に当てはめます。

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 4.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 4.2.3

${(x + 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

${(x + 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 2)}^{2} = 0$

ステップ 4.2.3.2

$x$ について ${(x + 2)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 4.2.3.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 4.2.4

${(x - 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

${(x - 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 4.2.4.2

$x$ について ${(x - 2)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.2.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 4.2.4.2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 4.2.5

最終解は ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, 2$

ステップ 4.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = - 2, x = 2$

ステップ 5

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 2)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f' (- 3) = - \frac{2 (- 3)}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{{(9 - 4)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

$9$ から $4$ を引きます。

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{5^{2}}$

ステップ 6.2.2.3

$5$ を $2$ 乗します。

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{25}$

ステップ 6.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 3) = \frac{6}{25}$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $\frac{6}{25}$ です。

$\frac{6}{25}$

ステップ 6.3

$x = - 3$ で微分係数は $\frac{6}{25}$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, - 2)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 2)$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 2, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{(1 - 4)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.2

$1$ から $4$ を引きます。

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{(- 3)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.3

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{9}$

ステップ 7.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 1) = \frac{2}{9}$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $\frac{2}{9}$ です。

$\frac{2}{9}$

ステップ 7.3

$x = - 1$ で微分係数は $\frac{2}{9}$ です。これは正の値なので、関数は $(- 2, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- 2, 0)$ で増加

ステップ 8

区間 $(0, 2)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = - \frac{2 (1)}{{({(1)}^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = - \frac{2}{{(1^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 8.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = - \frac{2}{{(1 - 4)}^{2}}$

ステップ 8.2.2.2

$1$ から $4$ を引きます。

$f' (1) = - \frac{2}{{(- 3)}^{2}}$

ステップ 8.2.2.3

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f' (1) = - \frac{2}{9}$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $- \frac{2}{9}$ です。

$- \frac{2}{9}$

ステップ 8.3

$x = 1$ で微分係数は $- \frac{2}{9}$ です。これは負の値なので、関数は $(0, 2)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, 2)$ で減少

ステップ 9

区間 $(2, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f' (3) = - \frac{2 (3)}{{({(3)}^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$2$ に $3$ をかけます。

$f' (3) = - \frac{6}{{(3^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 9.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f' (3) = - \frac{6}{{(9 - 4)}^{2}}$

ステップ 9.2.2.2

$9$ から $4$ を引きます。

$f' (3) = - \frac{6}{5^{2}}$

ステップ 9.2.2.3

$5$ を $2$ 乗します。

$f' (3) = - \frac{6}{25}$

ステップ 9.2.3

最終的な答えは $- \frac{6}{25}$ です。

$- \frac{6}{25}$

ステップ 9.3

$x = 3$ で微分係数は $- \frac{6}{25}$ です。これは負の値なので、関数は $(2, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(2, \infty)$ で減少

ステップ 10

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - 2), (- 2, 0)$ で増加

$(0, 2), (2, \infty)$ で減少

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例