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微分積分 例
ステップ 1
ステップ 1.1
一次導関数を求めます。
ステップ 1.1.1
およびのとき、はであるという商の法則を使って微分します。
ステップ 1.1.2
微分します。
ステップ 1.1.2.1
総和則では、のに関する積分はです。
ステップ 1.1.2.2
はについて定数なので、についての微分係数はです。
ステップ 1.1.2.3
とをたし算します。
ステップ 1.1.2.4
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.1.2.5
をの左に移動させます。
ステップ 1.1.2.6
総和則では、のに関する積分はです。
ステップ 1.1.2.7
はについて定数なので、についての微分係数はです。
ステップ 1.1.2.8
とをたし算します。
ステップ 1.1.2.9
はに対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 1.1.2.10
掛け算します。
ステップ 1.1.2.10.1
にをかけます。
ステップ 1.1.2.10.2
にをかけます。
ステップ 1.1.2.11
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.1.2.12
をの左に移動させます。
ステップ 1.1.3
簡約します。
ステップ 1.1.3.1
分配則を当てはめます。
ステップ 1.1.3.2
分配則を当てはめます。
ステップ 1.1.3.3
分配則を当てはめます。
ステップ 1.1.3.4
分配則を当てはめます。
ステップ 1.1.3.5
分子を簡約します。
ステップ 1.1.3.5.1
各項を簡約します。
ステップ 1.1.3.5.1.1
にをかけます。
ステップ 1.1.3.5.1.2
指数を足してにを掛けます。
ステップ 1.1.3.5.1.2.1
を移動させます。
ステップ 1.1.3.5.1.2.2
にをかけます。
ステップ 1.1.3.5.1.2.2.1
を乗します。
ステップ 1.1.3.5.1.2.2.2
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 1.1.3.5.1.2.3
とをたし算します。
ステップ 1.1.3.5.1.3
にをかけます。
ステップ 1.1.3.5.1.4
にをかけます。
ステップ 1.1.3.5.1.5
指数を足してにを掛けます。
ステップ 1.1.3.5.1.5.1
を移動させます。
ステップ 1.1.3.5.1.5.2
にをかけます。
ステップ 1.1.3.5.1.5.2.1
を乗します。
ステップ 1.1.3.5.1.5.2.2
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 1.1.3.5.1.5.3
とをたし算します。
ステップ 1.1.3.5.2
の反対側の項を組み合わせます。
ステップ 1.1.3.5.2.1
とをたし算します。
ステップ 1.1.3.5.2.2
とをたし算します。
ステップ 1.1.3.5.3
とをたし算します。
ステップ 1.1.3.6
項を並べ替えます。
ステップ 1.1.3.7
分母を簡約します。
ステップ 1.1.3.7.1
をに書き換えます。
ステップ 1.1.3.7.2
とを並べ替えます。
ステップ 1.1.3.7.3
両項とも完全平方なので、平方の差の公式を利用して、因数分解します。このとき、であり、です。
ステップ 1.1.3.7.4
積の法則をに当てはめます。
ステップ 1.2
に関するの一次導関数はです。
ステップ 2
ステップ 2.1
一次導関数をに等しくします。
ステップ 2.2
分子を0に等しくします。
ステップ 2.3
の各項をで割り、簡約します。
ステップ 2.3.1
の各項をで割ります。
ステップ 2.3.2
左辺を簡約します。
ステップ 2.3.2.1
の共通因数を約分します。
ステップ 2.3.2.1.1
共通因数を約分します。
ステップ 2.3.2.1.2
をで割ります。
ステップ 2.3.3
右辺を簡約します。
ステップ 2.3.3.1
をで割ります。
ステップ 3
微分係数がに等しくなるような値はです。
ステップ 4
ステップ 4.1
の分母をに等しいとして、式が未定義である場所を求めます。
ステップ 4.2
について解きます。
ステップ 4.2.1
方程式の左辺の個々の因数がと等しいならば、式全体はと等しくなります。
ステップ 4.2.2
をに等しくし、を解きます。
ステップ 4.2.2.1
がに等しいとします。
ステップ 4.2.2.2
についてを解きます。
ステップ 4.2.2.2.1
がに等しいとします。
ステップ 4.2.2.2.2
方程式の両辺からを引きます。
ステップ 4.2.3
をに等しくし、を解きます。
ステップ 4.2.3.1
がに等しいとします。
ステップ 4.2.3.2
についてを解きます。
ステップ 4.2.3.2.1
がに等しいとします。
ステップ 4.2.3.2.2
について解きます。
ステップ 4.2.3.2.2.1
方程式の両辺からを引きます。
ステップ 4.2.3.2.2.2
の各項をで割り、簡約します。
ステップ 4.2.3.2.2.2.1
の各項をで割ります。
ステップ 4.2.3.2.2.2.2
左辺を簡約します。
ステップ 4.2.3.2.2.2.2.1
2つの負の値を割ると正の値になります。
ステップ 4.2.3.2.2.2.2.2
をで割ります。
ステップ 4.2.3.2.2.2.3
右辺を簡約します。
ステップ 4.2.3.2.2.2.3.1
をで割ります。
ステップ 4.2.4
最終解はを真にするすべての値です。
ステップ 4.3
分母がに等しい、平方根の引数がより小さい、または対数の引数が以下の場合、方程式は未定義です。
ステップ 5
微分係数または未定義になる値の周囲で、を分離区間に分割します。
ステップ 6
ステップ 6.1
式の変数をで置換えます。
ステップ 6.2
結果を簡約します。
ステップ 6.2.1
式を簡約します。
ステップ 6.2.1.1
括弧を削除します。
ステップ 6.2.1.2
にをかけます。
ステップ 6.2.2
分母を簡約します。
ステップ 6.2.2.1
からを引きます。
ステップ 6.2.2.2
にをかけます。
ステップ 6.2.2.3
とをたし算します。
ステップ 6.2.2.4
を乗します。
ステップ 6.2.2.5
を乗します。
ステップ 6.2.2.6
にをかけます。
ステップ 6.2.3
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 6.2.4
最終的な答えはです。
ステップ 6.3
で微分係数はです。これは負の値なので、関数はで減少します。
なのでで減少
なのでで減少
ステップ 7
ステップ 7.1
式の変数をで置換えます。
ステップ 7.2
結果を簡約します。
ステップ 7.2.1
括弧を削除します。
ステップ 7.2.2
分子を簡約します。
ステップ 7.2.2.1
にをかけます。
ステップ 7.2.2.2
とをまとめます。
ステップ 7.2.3
分母を簡約します。
ステップ 7.2.3.1
を公分母をもつ分数で書きます。
ステップ 7.2.3.2
公分母の分子をまとめます。
ステップ 7.2.3.3
からを引きます。
ステップ 7.2.3.4
積の法則をに当てはめます。
ステップ 7.2.3.5
を掛けます。
ステップ 7.2.3.5.1
にをかけます。
ステップ 7.2.3.5.2
にをかけます。
ステップ 7.2.3.6
を公分母をもつ分数で書きます。
ステップ 7.2.3.7
公分母の分子をまとめます。
ステップ 7.2.3.8
とをたし算します。
ステップ 7.2.3.9
積の法則をに当てはめます。
ステップ 7.2.3.10
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 7.2.3.11
を乗します。
ステップ 7.2.3.12
を乗します。
ステップ 7.2.3.13
を乗します。
ステップ 7.2.4
分数をまとめます。
ステップ 7.2.4.1
をで割ります。
ステップ 7.2.4.2
にをかけます。
ステップ 7.2.4.3
にをかけます。
ステップ 7.2.5
分子に分母の逆数を掛けます。
ステップ 7.2.6
を掛けます。
ステップ 7.2.6.1
とをまとめます。
ステップ 7.2.6.2
にをかけます。
ステップ 7.2.7
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 7.2.8
最終的な答えはです。
ステップ 7.3
で微分係数はです。これは負の値なので、関数はで減少します。
なのでで減少
なのでで減少
ステップ 8
ステップ 8.1
式の変数をで置換えます。
ステップ 8.2
結果を簡約します。
ステップ 8.2.1
分数をまとめます。
ステップ 8.2.1.1
括弧を削除します。
ステップ 8.2.1.2
とをまとめます。
ステップ 8.2.2
分母を簡約します。
ステップ 8.2.2.1
を公分母をもつ分数で書きます。
ステップ 8.2.2.2
公分母の分子をまとめます。
ステップ 8.2.2.3
とをたし算します。
ステップ 8.2.2.4
積の法則をに当てはめます。
ステップ 8.2.2.5
を公分母をもつ分数で書きます。
ステップ 8.2.2.6
公分母の分子をまとめます。
ステップ 8.2.2.7
からを引きます。
ステップ 8.2.2.8
積の法則をに当てはめます。
ステップ 8.2.2.9
を乗します。
ステップ 8.2.2.10
を乗します。
ステップ 8.2.2.11
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 8.2.2.12
を乗します。
ステップ 8.2.3
分数をまとめます。
ステップ 8.2.3.1
をで割ります。
ステップ 8.2.3.2
にをかけます。
ステップ 8.2.3.3
にをかけます。
ステップ 8.2.4
分子に分母の逆数を掛けます。
ステップ 8.2.5
を掛けます。
ステップ 8.2.5.1
とをまとめます。
ステップ 8.2.5.2
にをかけます。
ステップ 8.2.6
最終的な答えはです。
ステップ 8.3
で微分係数はです。これは正の値なので、関数はで増加します。
なのでで増加
なのでで増加
ステップ 9
ステップ 9.1
式の変数をで置換えます。
ステップ 9.2
結果を簡約します。
ステップ 9.2.1
式を簡約します。
ステップ 9.2.1.1
括弧を削除します。
ステップ 9.2.1.2
にをかけます。
ステップ 9.2.2
分母を簡約します。
ステップ 9.2.2.1
とをたし算します。
ステップ 9.2.2.2
にをかけます。
ステップ 9.2.2.3
からを引きます。
ステップ 9.2.2.4
を乗します。
ステップ 9.2.2.5
を乗します。
ステップ 9.2.3
にをかけます。
ステップ 9.2.4
最終的な答えはです。
ステップ 9.3
で微分係数はです。これは正の値なので、関数はで増加します。
なのでで増加
なのでで増加
ステップ 10
関数が増加する区間と減少する区間を記載します。
で増加
で減少
ステップ 11