微分積分 例

導関数を用いて増減する場所を求める f(x)=(1+x^2)/(1-x^2)
ステップ 1
一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1
一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.1
およびのとき、であるという商の法則を使って微分します。
ステップ 1.1.2
微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.2.1
総和則では、に関する積分はです。
ステップ 1.1.2.2
について定数なので、についての微分係数はです。
ステップ 1.1.2.3
をたし算します。
ステップ 1.1.2.4
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.1.2.5
の左に移動させます。
ステップ 1.1.2.6
総和則では、に関する積分はです。
ステップ 1.1.2.7
について定数なので、についての微分係数はです。
ステップ 1.1.2.8
をたし算します。
ステップ 1.1.2.9
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 1.1.2.10
掛け算します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.2.10.1
をかけます。
ステップ 1.1.2.10.2
をかけます。
ステップ 1.1.2.11
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.1.2.12
の左に移動させます。
ステップ 1.1.3
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.3.1
分配則を当てはめます。
ステップ 1.1.3.2
分配則を当てはめます。
ステップ 1.1.3.3
分配則を当てはめます。
ステップ 1.1.3.4
分配則を当てはめます。
ステップ 1.1.3.5
分子を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.3.5.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.3.5.1.1
をかけます。
ステップ 1.1.3.5.1.2
指数を足してを掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.3.5.1.2.1
を移動させます。
ステップ 1.1.3.5.1.2.2
をかけます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.3.5.1.2.2.1
乗します。
ステップ 1.1.3.5.1.2.2.2
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 1.1.3.5.1.2.3
をたし算します。
ステップ 1.1.3.5.1.3
をかけます。
ステップ 1.1.3.5.1.4
をかけます。
ステップ 1.1.3.5.1.5
指数を足してを掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.3.5.1.5.1
を移動させます。
ステップ 1.1.3.5.1.5.2
をかけます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.3.5.1.5.2.1
乗します。
ステップ 1.1.3.5.1.5.2.2
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 1.1.3.5.1.5.3
をたし算します。
ステップ 1.1.3.5.2
の反対側の項を組み合わせます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.3.5.2.1
をたし算します。
ステップ 1.1.3.5.2.2
をたし算します。
ステップ 1.1.3.5.3
をたし算します。
ステップ 1.1.3.6
項を並べ替えます。
ステップ 1.1.3.7
分母を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.3.7.1
に書き換えます。
ステップ 1.1.3.7.2
を並べ替えます。
ステップ 1.1.3.7.3
両項とも完全平方なので、平方の差の公式を利用して、因数分解します。このとき、であり、です。
ステップ 1.1.3.7.4
積の法則をに当てはめます。
ステップ 1.2
に関するの一次導関数はです。
ステップ 2
一次導関数をと等しくし、次に方程式を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.1
一次導関数をに等しくします。
ステップ 2.2
分子を0に等しくします。
ステップ 2.3
の各項をで割り、簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.3.1
の各項をで割ります。
ステップ 2.3.2
左辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.3.2.1
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.3.2.1.1
共通因数を約分します。
ステップ 2.3.2.1.2
で割ります。
ステップ 2.3.3
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.3.3.1
で割ります。
ステップ 3
微分係数がに等しくなるような値はです。
ステップ 4
微分係数が未定義になる場所を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1
の分母をに等しいとして、式が未定義である場所を求めます。
ステップ 4.2
について解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.2.1
方程式の左辺の個々の因数がと等しいならば、式全体はと等しくなります。
ステップ 4.2.2
に等しくし、を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.2.2.1
に等しいとします。
ステップ 4.2.2.2
についてを解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.2.2.2.1
に等しいとします。
ステップ 4.2.2.2.2
方程式の両辺からを引きます。
ステップ 4.2.3
に等しくし、を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.2.3.1
に等しいとします。
ステップ 4.2.3.2
についてを解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.2.3.2.1
に等しいとします。
ステップ 4.2.3.2.2
について解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.2.3.2.2.1
方程式の両辺からを引きます。
ステップ 4.2.3.2.2.2
の各項をで割り、簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.2.3.2.2.2.1
の各項をで割ります。
ステップ 4.2.3.2.2.2.2
左辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.2.3.2.2.2.2.1
2つの負の値を割ると正の値になります。
ステップ 4.2.3.2.2.2.2.2
で割ります。
ステップ 4.2.3.2.2.2.3
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.2.3.2.2.2.3.1
で割ります。
ステップ 4.2.4
最終解はを真にするすべての値です。
ステップ 4.3
分母がに等しい、平方根の引数がより小さい、または対数の引数が以下の場合、方程式は未定義です。
ステップ 5
微分係数または未定義になる値の周囲で、を分離区間に分割します。
ステップ 6
区間から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.1
式の変数で置換えます。
ステップ 6.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.2.1
式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.2.1.1
括弧を削除します。
ステップ 6.2.1.2
をかけます。
ステップ 6.2.2
分母を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.2.2.1
からを引きます。
ステップ 6.2.2.2
をかけます。
ステップ 6.2.2.3
をたし算します。
ステップ 6.2.2.4
乗します。
ステップ 6.2.2.5
乗します。
ステップ 6.2.2.6
をかけます。
ステップ 6.2.3
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 6.2.4
最終的な答えはです。
ステップ 6.3
で微分係数はです。これは負の値なので、関数はで減少します。
なのでで減少
なのでで減少
ステップ 7
区間から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.1
式の変数で置換えます。
ステップ 7.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.2.1
括弧を削除します。
ステップ 7.2.2
分子を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.2.2.1
をかけます。
ステップ 7.2.2.2
をまとめます。
ステップ 7.2.3
分母を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.2.3.1
を公分母をもつ分数で書きます。
ステップ 7.2.3.2
公分母の分子をまとめます。
ステップ 7.2.3.3
からを引きます。
ステップ 7.2.3.4
積の法則をに当てはめます。
ステップ 7.2.3.5
を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.2.3.5.1
をかけます。
ステップ 7.2.3.5.2
をかけます。
ステップ 7.2.3.6
を公分母をもつ分数で書きます。
ステップ 7.2.3.7
公分母の分子をまとめます。
ステップ 7.2.3.8
をたし算します。
ステップ 7.2.3.9
積の法則をに当てはめます。
ステップ 7.2.3.10
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 7.2.3.11
乗します。
ステップ 7.2.3.12
乗します。
ステップ 7.2.3.13
乗します。
ステップ 7.2.4
分数をまとめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.2.4.1
で割ります。
ステップ 7.2.4.2
をかけます。
ステップ 7.2.4.3
をかけます。
ステップ 7.2.5
分子に分母の逆数を掛けます。
ステップ 7.2.6
を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.2.6.1
をまとめます。
ステップ 7.2.6.2
をかけます。
ステップ 7.2.7
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 7.2.8
最終的な答えはです。
ステップ 7.3
で微分係数はです。これは負の値なので、関数はで減少します。
なのでで減少
なのでで減少
ステップ 8
区間から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 8.1
式の変数で置換えます。
ステップ 8.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 8.2.1
分数をまとめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 8.2.1.1
括弧を削除します。
ステップ 8.2.1.2
をまとめます。
ステップ 8.2.2
分母を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 8.2.2.1
を公分母をもつ分数で書きます。
ステップ 8.2.2.2
公分母の分子をまとめます。
ステップ 8.2.2.3
をたし算します。
ステップ 8.2.2.4
積の法則をに当てはめます。
ステップ 8.2.2.5
を公分母をもつ分数で書きます。
ステップ 8.2.2.6
公分母の分子をまとめます。
ステップ 8.2.2.7
からを引きます。
ステップ 8.2.2.8
積の法則をに当てはめます。
ステップ 8.2.2.9
乗します。
ステップ 8.2.2.10
乗します。
ステップ 8.2.2.11
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 8.2.2.12
乗します。
ステップ 8.2.3
分数をまとめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 8.2.3.1
で割ります。
ステップ 8.2.3.2
をかけます。
ステップ 8.2.3.3
をかけます。
ステップ 8.2.4
分子に分母の逆数を掛けます。
ステップ 8.2.5
を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 8.2.5.1
をまとめます。
ステップ 8.2.5.2
をかけます。
ステップ 8.2.6
最終的な答えはです。
ステップ 8.3
で微分係数はです。これは正の値なので、関数はで増加します。
なのでで増加
なのでで増加
ステップ 9
区間から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.1
式の変数で置換えます。
ステップ 9.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.2.1
式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.2.1.1
括弧を削除します。
ステップ 9.2.1.2
をかけます。
ステップ 9.2.2
分母を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.2.2.1
をたし算します。
ステップ 9.2.2.2
をかけます。
ステップ 9.2.2.3
からを引きます。
ステップ 9.2.2.4
乗します。
ステップ 9.2.2.5
乗します。
ステップ 9.2.3
をかけます。
ステップ 9.2.4
最終的な答えはです。
ステップ 9.3
で微分係数はです。これは正の値なので、関数はで増加します。
なのでで増加
なのでで増加
ステップ 10
関数が増加する区間と減少する区間を記載します。
で増加
で減少
ステップ 11