微分積分例

$f (x) = \frac{- 4}{x^{2} - 2 x - 3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2} - 2 x - 3}]$

ステップ 1.1.1.2

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{4}{x^{2} - 2 x - 3}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$ です。

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$ を ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}$ に書き換えます。

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 2 x - 3$ とします。

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

ステップ 1.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 2 x - 3$ で置き換えます。

$- 4 (- {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$4 ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

ステップ 1.1.3.2

総和則では、 $x^{2} - 2 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 1.1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 1.1.3.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 1.1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 1.1.3.6

$- 2$ に $1$ をかけます。

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 1.1.3.7

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + 0)$

ステップ 1.1.3.8

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2)$

ステップ 1.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$4 \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

ステップ 1.1.5

簡約します。

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ステップ 1.1.5.1

$4$ と $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

ステップ 1.1.5.2

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = (2 x - 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$ です。

$(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x - 2 = 0$

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

ステップ 2.3

$2 x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$2 x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 2 = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $2 x - 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$2 x = 2$

ステップ 2.3.2.2

$2 x = 2$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$2 x = 2$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

ステップ 2.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

ステップ 2.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{2}$

ステップ 2.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.3.1

$2$ を $2$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 2.4

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ が $0$ に等しいとします。

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

分子を0に等しくします。

$4 = 0$

ステップ 2.4.2.2

$4 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 2.5

最終解は $(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $1$ です。

$1$

ステップ 4

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.2.1.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 3$ を因数分解します。

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ステップ 4.2.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $- 2$ です。

$- 3, 1$

ステップ 4.2.1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

${((x - 3) (x + 1))}^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.2

積の法則を $(x - 3) (x + 1)$ に当てはめます。

${(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$

ステップ 4.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x - 3)}^{2} = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

ステップ 4.2.3

${(x - 3)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.2.3.1

${(x - 3)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 3)}^{2} = 0$

ステップ 4.2.3.2

$x$ について ${(x - 3)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 4.2.3.2.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 4.2.4

${(x + 1)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.2.4.1

${(x + 1)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 1)}^{2} = 0$

ステップ 4.2.4.2

$x$ について ${(x + 1)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.2.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 4.2.4.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 4.2.5

最終解は ${(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 1$

ステップ 4.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = - 1, x = 3$

ステップ 5

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 1)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{({(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 - 3)}^{2}})$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{(4 - 2 \cdot - 2 - 3)}^{2}})$

ステップ 6.2.1.2

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{(4 + 4 - 3)}^{2}})$

ステップ 6.2.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{(8 - 3)}^{2}})$

ステップ 6.2.1.4

$8$ から $3$ を引きます。

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{5^{2}})$

ステップ 6.2.1.5

$5$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{25})$

ステップ 6.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f' (- 2) = (- 4 - 2) (\frac{4}{25})$

ステップ 6.2.2.2

$- 4$ から $2$ を引きます。

$f' (- 2) = - 6 (\frac{4}{25})$

ステップ 6.2.3

$- 6 (\frac{4}{25})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$- 6$ と $\frac{4}{25}$ をまとめます。

$f' (- 2) = \frac{- 6 \cdot 4}{25}$

ステップ 6.2.3.2

$- 6$ に $4$ をかけます。

$f' (- 2) = \frac{- 24}{25}$

ステップ 6.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 2) = - \frac{24}{25}$

ステップ 6.2.5

最終的な答えは $- \frac{24}{25}$ です。

$- \frac{24}{25}$

ステップ 6.3

$x = - 2$ で微分係数は $- \frac{24}{25}$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - 1)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 1)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 1, 1)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{({(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 3)}^{2}})$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(0 - 2 \cdot 0 - 3)}^{2}})$

ステップ 7.2.1.2

$- 2$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(0 + 0 - 3)}^{2}})$

ステップ 7.2.1.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(0 - 3)}^{2}})$

ステップ 7.2.1.4

$0$ から $3$ を引きます。

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(- 3)}^{2}})$

ステップ 7.2.1.5

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{9})$

ステップ 7.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$2$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = (0 - 2) (\frac{4}{9})$

ステップ 7.2.2.2

$0$ から $2$ を引きます。

$f' (0) = - 2 (\frac{4}{9})$

ステップ 7.2.3

$- 2 (\frac{4}{9})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$- 2$ と $\frac{4}{9}$ をまとめます。

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 4}{9}$

ステップ 7.2.3.2

$- 2$ に $4$ をかけます。

$f' (0) = \frac{- 8}{9}$

ステップ 7.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$f' (0) = - \frac{8}{9}$

ステップ 7.2.5

最終的な答えは $- \frac{8}{9}$ です。

$- \frac{8}{9}$

ステップ 7.3

$x = 0$ で微分係数は $- \frac{8}{9}$ です。これは負の値なので、関数は $(- 1, 1)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- 1, 1)$ で減少

ステップ 8

区間 $(1, 3)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{({(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 3)}^{2}})$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(4 - 2 \cdot 2 - 3)}^{2}})$

ステップ 8.2.1.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(4 - 4 - 3)}^{2}})$

ステップ 8.2.1.3

$4$ から $4$ を引きます。

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(0 - 3)}^{2}})$

ステップ 8.2.1.4

$0$ から $3$ を引きます。

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(- 3)}^{2}})$

ステップ 8.2.1.5

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{9})$

ステップ 8.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (2) = (4 - 2) (\frac{4}{9})$

ステップ 8.2.2.2

$4$ から $2$ を引きます。

$f' (2) = 2 (\frac{4}{9})$

ステップ 8.2.3

$2 (\frac{4}{9})$ を掛けます。

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ステップ 8.2.3.1

$2$ と $\frac{4}{9}$ をまとめます。

$f' (2) = \frac{2 \cdot 4}{9}$

ステップ 8.2.3.2

$2$ に $4$ をかけます。

$f' (2) = \frac{8}{9}$

ステップ 8.2.4

最終的な答えは $\frac{8}{9}$ です。

$\frac{8}{9}$

ステップ 8.3

$x = 2$ で微分係数は $\frac{8}{9}$ です。これは正の値なので、関数は $(1, 3)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(1, 3)$ で増加

ステップ 9

区間 $(3, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{({(4)}^{2} - 2 \cdot 4 - 3)}^{2}})$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{(16 - 2 \cdot 4 - 3)}^{2}})$

ステップ 9.2.1.2

$- 2$ に $4$ をかけます。

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{(16 - 8 - 3)}^{2}})$

ステップ 9.2.1.3

$16$ から $8$ を引きます。

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{(8 - 3)}^{2}})$

ステップ 9.2.1.4

$8$ から $3$ を引きます。

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{5^{2}})$

ステップ 9.2.1.5

$5$ を $2$ 乗します。

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{25})$

ステップ 9.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$2$ に $4$ をかけます。

$f' (4) = (8 - 2) (\frac{4}{25})$

ステップ 9.2.2.2

$8$ から $2$ を引きます。

$f' (4) = 6 (\frac{4}{25})$

ステップ 9.2.3

$6 (\frac{4}{25})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.1

$6$ と $\frac{4}{25}$ をまとめます。

$f' (4) = \frac{6 \cdot 4}{25}$

ステップ 9.2.3.2

$6$ に $4$ をかけます。

$f' (4) = \frac{24}{25}$

ステップ 9.2.4

最終的な答えは $\frac{24}{25}$ です。

$\frac{24}{25}$

ステップ 9.3

$x = 4$ で微分係数は $\frac{24}{25}$ です。これは正の値なので、関数は $(3, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(3, \infty)$ で増加

ステップ 10

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(1, 3), (3, \infty)$ で増加

$(- \infty, - 1), (- 1, 1)$ で減少

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例