微分積分例

$f (x) = 3^{- x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = 3^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (3^{u}) \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 1.1.1.2

$a$ = $3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = 3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) (- \frac{d}{d x} x)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) (- 1 \cdot 1)$

ステップ 1.1.2.3

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) \cdot - 1$

ステップ 1.1.2.3.2

$- 1$ を $3^{- x} \ln (3)$ の左に移動させます。

$f' (x) = - 1 \cdot (3^{- x} \ln (3))$

ステップ 1.1.2.3.3

$- 1 \cdot 3^{- x}$ を $- 3^{- x}$ に書き換えます。

$f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 3^{- x} \ln (3)$ です。

$- 3^{- x} \ln (3)$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 3^{- x} \ln (3) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 3^{- x} \ln (3) = 0$

ステップ 2.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

解がありません

ステップ 3

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 4

微分係数 $f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ を $0$ または未定義にする点はありません。 $f (x) = 3^{- x}$ の増加・減少を確認する区間は $(- \infty, \infty)$ です。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, \infty)$ から $1$ などの任意の数を微分係数 $f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ に代入し、結果が負か正か確認します。結果が負ならば、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で減少します。結果が正ならば、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で増加しています。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = - 3^{- (1)} \ln (3)$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = - 3^{- 1} \ln (3)$

ステップ 5.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (1) = - \frac{1}{3} \cdot \ln (3)$

ステップ 5.2.3

$- \frac{1}{3} \ln (3)$ を掛けます。

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ステップ 5.2.3.1

$\ln (3)$ と $\frac{1}{3}$ を並べ替えます。

$f' (1) = - (\frac{1}{3} \cdot \ln (3))$

ステップ 5.2.3.2

対数の中の $\frac{1}{3}$ を移動させて $\frac{1}{3} \ln (3)$ を簡約します。

$f' (1) = - \ln (3^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $- \ln (3^{\frac{1}{3}})$ です。

$- \ln (3^{\frac{1}{3}})$

ステップ 6

$1$ を $f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ に代入した結果は $- \ln (3^{\frac{1}{3}})$ です。これは負なので、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で減少します。

$(- \infty, \infty)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- \infty, \infty)$ で減少することは、関数が常に減少しているという意味です。

常に減少

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例