微分積分例

$f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 36}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x}{x^{2} - 36}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 36}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 36}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} - 36$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$2 \frac{(x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{(x^{2} - 36) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

$x^{2} - 36$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{x^{2} - 36 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

総和則では、 $x^{2} - 36$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ です。

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5

$- 36$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 36$ の微分係数は $0$ です。

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.6

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.5

$x$ を $1$ 乗します。

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.8

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$2 \frac{- x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.9

$2$ と $\frac{- x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 (- x^{2} - 36)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.10

簡約します。

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ステップ 1.1.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.10.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.10.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.10.2.2

$2$ に $- 36$ をかけます。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ です。

$\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$- 2 x^{2} - 72 = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の両辺に $72$ を足します。

$- 2 x^{2} = 72$

ステップ 2.3.2

$- 2 x^{2} = 72$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- 2 x^{2} = 72$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{72}{- 2}$

ステップ 2.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{72}{- 2}$

ステップ 2.3.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{72}{- 2}$

ステップ 2.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.3.1

$72$ を $- 2$ で割ります。

$x^{2} = - 36$

ステップ 2.3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 36}$

ステップ 2.3.4

$\pm \sqrt{- 36}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$- 36$ を $- 1 (36)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (36)}$

ステップ 2.3.4.2

$\sqrt{- 1 (36)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$

ステップ 2.3.4.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{36}$

ステップ 2.3.4.4

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}$

ステップ 2.3.4.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 6$

ステップ 2.3.4.6

$6$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 6 i$

ステップ 2.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 6 i$

ステップ 2.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 6 i$

ステップ 2.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 6 i, - 6 i$

ステップ 3

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 4

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x^{2} - 36)}^{2} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.2.1.1

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

${(x^{2} - 6^{2})}^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 6$ です。

${((x + 6) (x - 6))}^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.3

積の法則を $(x + 6) (x - 6)$ に当てはめます。

${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2} = 0$

ステップ 4.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x + 6)}^{2} = 0$

${(x - 6)}^{2} = 0$

ステップ 4.2.3

${(x + 6)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.2.3.1

${(x + 6)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 6)}^{2} = 0$

ステップ 4.2.3.2

$x$ について ${(x + 6)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

$x + 6$ が $0$ に等しいとします。

$x + 6 = 0$

ステップ 4.2.3.2.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x = - 6$

ステップ 4.2.4

${(x - 6)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

${(x - 6)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 6)}^{2} = 0$

ステップ 4.2.4.2

$x$ について ${(x - 6)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.2.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 4.2.4.2.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 4.2.5

最終解は ${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 6, 6$

ステップ 4.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = - 6, x = 6$

ステップ 5

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 6) \cup (6, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 6)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 7$ で置換えます。

$f' (- 7) = \frac{- 2 {(- 7)}^{2} - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 7$ を $2$ 乗します。

$f' (- 7) = \frac{- 2 \cdot 49 - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 2$ に $49$ をかけます。

$f' (- 7) = \frac{- 98 - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.3

$- 98$ から $72$ を引きます。

$f' (- 7) = \frac{- 170}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 7$ を $2$ 乗します。

$f' (- 7) = \frac{- 170}{{(49 - 36)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

$49$ から $36$ を引きます。

$f' (- 7) = \frac{- 170}{13^{2}}$

ステップ 6.2.2.3

$13$ を $2$ 乗します。

$f' (- 7) = \frac{- 170}{169}$

ステップ 6.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 7) = - \frac{170}{169}$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $- \frac{170}{169}$ です。

$- \frac{170}{169}$

ステップ 6.3

$x = - 7$ で微分係数は $- \frac{170}{169}$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - 6)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 6)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 6, 6)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} - 72}{{({(0)}^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 - 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

$- 2$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = \frac{0 - 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.3

$0$ から $72$ を引きます。

$f' (0) = \frac{- 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = \frac{- 72}{{(0 - 36)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.2

$0$ から $36$ を引きます。

$f' (0) = \frac{- 72}{{(- 36)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.3

$- 36$ を $2$ 乗します。

$f' (0) = \frac{- 72}{1296}$

ステップ 7.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 7.2.3.1

$- 72$ と $1296$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.1.1

$72$ を $- 72$ で因数分解します。

$f' (0) = \frac{72 (- 1)}{1296}$

ステップ 7.2.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1.2.1

$72$ を $1296$ で因数分解します。

$f' (0) = \frac{72 \cdot - 1}{72 \cdot 18}$

ステップ 7.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$f' (0) = \frac{72 \cdot - 1}{72 \cdot 18}$

ステップ 7.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$f' (0) = \frac{- 1}{18}$

ステップ 7.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (0) = - \frac{1}{18}$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $- \frac{1}{18}$ です。

$- \frac{1}{18}$

ステップ 7.3

$x = 0$ で微分係数は $- \frac{1}{18}$ です。これは負の値なので、関数は $(- 6, 6)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- 6, 6)$ で減少

ステップ 8

区間 $(6, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $7$ で置換えます。

$f' (7) = \frac{- 2 {(7)}^{2} - 72}{{({(7)}^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$7$ を $2$ 乗します。

$f' (7) = \frac{- 2 \cdot 49 - 72}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.2

$- 2$ に $49$ をかけます。

$f' (7) = \frac{- 98 - 72}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.3

$- 98$ から $72$ を引きます。

$f' (7) = \frac{- 170}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

ステップ 8.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$7$ を $2$ 乗します。

$f' (7) = \frac{- 170}{{(49 - 36)}^{2}}$

ステップ 8.2.2.2

$49$ から $36$ を引きます。

$f' (7) = \frac{- 170}{13^{2}}$

ステップ 8.2.2.3

$13$ を $2$ 乗します。

$f' (7) = \frac{- 170}{169}$

ステップ 8.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (7) = - \frac{170}{169}$

ステップ 8.2.4

最終的な答えは $- \frac{170}{169}$ です。

$- \frac{170}{169}$

ステップ 8.3

$x = 7$ で微分係数は $- \frac{170}{169}$ です。これは負の値なので、関数は $(6, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(6, \infty)$ で減少

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - 6), (- 6, 6), (6, \infty)$ で減少

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例