微分積分例

$f (x) = 4 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $4 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

ステップ 1.1.1.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 0 - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 0 - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

ステップ 1.1.2.3

$- 12$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 0 - 12 + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 0 - 12 + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 0 - 12 + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $6$ をかけます。

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x - \frac{d}{d x} x^{3}$

ステップ 1.1.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x - (3 x^{2})$

ステップ 1.1.4.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x - 3 x^{2}$

ステップ 1.1.5

簡約します。

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ステップ 1.1.5.1

$0$ から $12$ を引きます。

$f' (x) = - 12 + 12 x - 3 x^{2}$

ステップ 1.1.5.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 12$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 3 x^{2} + 12 x - 12$ です。

$- 3 x^{2} + 12 x - 12$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 3 x^{2} + 12 x - 12 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 3 x^{2} + 12 x - 12 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$- 3$ を $- 3 x^{2} + 12 x - 12$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$- 3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$- 3 x^{2} + 12 x - 12 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$- 3$ を $12 x$ で因数分解します。

$- 3 x^{2} - 3 (- 4 x) - 12 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$- 3$ を $- 12$ で因数分解します。

$- 3 x^{2} - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 4 = 0$

ステップ 2.2.1.4

$- 3$ を $- 3 (x^{2}) - 3 (- 4 x)$ で因数分解します。

$- 3 (x^{2} - 4 x) - 3 \cdot 4 = 0$

ステップ 2.2.1.5

$- 3$ を $- 3 (x^{2} - 4 x) - 3 (4)$ で因数分解します。

$- 3 (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

ステップ 2.2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- 3 (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

ステップ 2.2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 2.2.2.3

多項式を書き換えます。

$- 3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

ステップ 2.2.2.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$- 3 {(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 2.3

$- 3 {(x - 2)}^{2} = 0$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$- 3 {(x - 2)}^{2} = 0$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 {(x - 2)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 {(x - 2)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

ステップ 2.3.2.1.2

${(x - 2)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{- 3}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$0$ を $- 3$ で割ります。

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 2.4

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.5

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $2$ です。

$2$

ステップ 4

微分係数 $f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 12$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = 4 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ です。

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 2)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = - 3 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = - 3 \cdot 1 + 12 (1) - 12$

ステップ 5.2.1.2

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = - 3 + 12 (1) - 12$

ステップ 5.2.1.3

$12$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = - 3 + 12 - 12$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$- 3$ と $12$ をたし算します。

$f' (1) = 9 - 12$

ステップ 5.2.2.2

$9$ から $12$ を引きます。

$f' (1) = - 3$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 3$ です。

$- 3$

ステップ 5.3

$x = 1$ で微分係数は $- 3$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, 2)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, 2)$ で減少

ステップ 6

区間 $(2, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f' (3) = - 3 {(3)}^{2} + 12 (3) - 12$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f' (3) = - 3 \cdot 9 + 12 (3) - 12$

ステップ 6.2.1.2

$- 3$ に $9$ をかけます。

$f' (3) = - 27 + 12 (3) - 12$

ステップ 6.2.1.3

$12$ に $3$ をかけます。

$f' (3) = - 27 + 36 - 12$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$- 27$ と $36$ をたし算します。

$f' (3) = 9 - 12$

ステップ 6.2.2.2

$9$ から $12$ を引きます。

$f' (3) = - 3$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 3$ です。

$- 3$

ステップ 6.3

$x = 3$ で微分係数は $- 3$ です。これは負の値なので、関数は $(2, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(2, \infty)$ で減少

ステップ 7

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, 2), (2, \infty)$ で減少

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例