微分積分例

$f (x) = 4 x^{3} - 33 x^{2} - 240 x + 2$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $4 x^{3} - 33 x^{2} - 240 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 33 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 33 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 33 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 33 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 33 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 33 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$- 33$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 33 x^{2}$ の微分係数は $- 33 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 12 x^{2} - 33 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 12 x^{2} - 33 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 33$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{2} - 66 x + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 240 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$- 240$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 240 x$ の微分係数は $- 240 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 12 x^{2} - 66 x - 240 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 12 x^{2} - 66 x - 240 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 1.1.4.3

$- 240$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{2} - 66 x - 240 + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 1.1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 12 x^{2} - 66 x - 240 + 0$

ステップ 1.1.5.2

$12 x^{2} - 66 x - 240$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 12 x^{2} - 66 x - 240$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 x^{2} - 66 x - 240$ です。

$12 x^{2} - 66 x - 240$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} - 66 x - 240 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} - 66 x - 240 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$6$ を $12 x^{2} - 66 x - 240$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$6$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2}) - 66 x - 240 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$6$ を $- 66 x$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 11 x) - 240 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$6$ を $- 240$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 11 x) + 6 (- 40) = 0$

ステップ 2.2.1.4

$6$ を $6 (2 x^{2}) + 6 (- 11 x)$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2} - 11 x) + 6 (- 40) = 0$

ステップ 2.2.1.5

$6$ を $6 (2 x^{2} - 11 x) + 6 (- 40)$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2} - 11 x - 40) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 40 = - 80$ で和が $b = - 11$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1.1

$- 11$ を $- 11 x$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2} - 11 x - 40) = 0$

ステップ 2.2.2.1.1.2

$- 11$ を $5$ プラス $- 16$ に書き換える

$6 (2 x^{2} + (5 - 16) x - 40) = 0$

ステップ 2.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$6 (2 x^{2} + 5 x - 16 x - 40) = 0$

ステップ 2.2.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$6 ((2 x^{2} + 5 x) - 16 x - 40) = 0$

ステップ 2.2.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$6 (x (2 x + 5) - 8 (2 x + 5)) = 0$

ステップ 2.2.2.1.3

最大公約数 $2 x + 5$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$6 ((2 x + 5) (x - 8)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$6 (2 x + 5) (x - 8) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x + 5 = 0$

$x - 8 = 0$

ステップ 2.4

$2 x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$2 x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 5 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $2 x + 5 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$2 x = - 5$

ステップ 2.4.2.2

$2 x = - 5$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

$2 x = - 5$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

ステップ 2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

ステップ 2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 5}{2}$

ステップ 2.4.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{5}{2}$

ステップ 2.5

$x - 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x - 8$ が $0$ に等しいとします。

$x - 8 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x = 8$

ステップ 2.6

最終解は $6 (2 x + 5) (x - 8) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{5}{2}, 8$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $- \frac{5}{2}, 8$ です。

$- \frac{5}{2}, 8$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, 8) \cup (8, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - \frac{5}{2})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 3.5$ で置換えます。

$f' (- 3.5) = 12 {(- 3.5)}^{2} - 66 \cdot - 3.5 - 240$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 3.5$ を $2$ 乗します。

$f' (- 3.5) = 12 \cdot 12.25 - 66 \cdot - 3.5 - 240$

ステップ 5.2.1.2

$12$ に $12.25$ をかけます。

$f' (- 3.5) = 147 - 66 \cdot - 3.5 - 240$

ステップ 5.2.1.3

$- 66$ に $- 3.5$ をかけます。

$f' (- 3.5) = 147 + 231 - 240$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$147$ と $231$ をたし算します。

$f' (- 3.5) = 378 - 240$

ステップ 5.2.2.2

$378$ から $240$ を引きます。

$f' (- 3.5) = 138$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $138$ です。

$138$

ステップ 5.3

$x = - 3.5$ で微分係数は $138$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, - \frac{5}{2})$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, - \frac{5}{2})$ で増加

ステップ 6

区間 $(- 2.5, 8)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $2.75$ で置換えます。

$f' (2.75) = 12 {(2.75)}^{2} - 66 \cdot 2.75 - 240$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$2.75$ を $2$ 乗します。

$f' (2.75) = 12 \cdot 7.5625 - 66 \cdot 2.75 - 240$

ステップ 6.2.1.2

$12$ に $7.5625$ をかけます。

$f' (2.75) = 90.75 - 66 \cdot 2.75 - 240$

ステップ 6.2.1.3

$- 66$ に $2.75$ をかけます。

$f' (2.75) = 90.75 - 181.5 - 240$

ステップ 6.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$90.75$ から $181.5$ を引きます。

$f' (2.75) = - 90.75 - 240$

ステップ 6.2.2.2

$- 90.75$ から $240$ を引きます。

$f' (2.75) = - 330.75$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 330.75$ です。

$- 330.75$

ステップ 6.3

$x = 2.75$ で微分係数は $- 330.75$ です。これは負の値なので、関数は $(- 2.5, 8)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \frac{5}{2}, 8)$ で減少

ステップ 7

区間 $(8, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $9$ で置換えます。

$f' (9) = 12 {(9)}^{2} - 66 \cdot 9 - 240$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$9$ を $2$ 乗します。

$f' (9) = 12 \cdot 81 - 66 \cdot 9 - 240$

ステップ 7.2.1.2

$12$ に $81$ をかけます。

$f' (9) = 972 - 66 \cdot 9 - 240$

ステップ 7.2.1.3

$- 66$ に $9$ をかけます。

$f' (9) = 972 - 594 - 240$

ステップ 7.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$972$ から $594$ を引きます。

$f' (9) = 378 - 240$

ステップ 7.2.2.2

$378$ から $240$ を引きます。

$f' (9) = 138$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $138$ です。

$138$

ステップ 7.3

$x = 9$ で微分係数は $138$ です。これは正の値なので、関数は $(8, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(8, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - \frac{5}{2}), (8, \infty)$ で増加

$(- \frac{5}{2}, 8)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例