微分積分例

$f (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 3$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $4 x^{3} - 24 x^{2} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 24 x^{2}$ の微分係数は $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$12 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 24$ をかけます。

$12 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$12 x^{2} - 48 x + 0$

ステップ 1.1.4.2

$12 x^{2} - 48 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 12 x^{2} - 48 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 x^{2} - 48 x$ です。

$12 x^{2} - 48 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} - 48 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} - 48 x = 0$

ステップ 2.2

$12 x$ を $12 x^{2} - 48 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$12 x$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$12 x (x) - 48 x = 0$

ステップ 2.2.2

$12 x$ を $- 48 x$ で因数分解します。

$12 x (x) + 12 x (- 4) = 0$

ステップ 2.2.3

$12 x$ を $12 x (x) + 12 x (- 4)$ で因数分解します。

$12 x (x - 4) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.6

最終解は $12 x (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 4$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, 4$ です。

$0, 4$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = 12 {(- 1)}^{2} - 48 \cdot - 1$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = 12 \cdot 1 - 48 \cdot - 1$

ステップ 5.2.1.2

$12$ に $1$ をかけます。

$f' (- 1) = 12 - 48 \cdot - 1$

ステップ 5.2.1.3

$- 48$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = 12 + 48$

ステップ 5.2.2

$12$ と $48$ をたし算します。

$f' (- 1) = 60$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $60$ です。

$60$

ステップ 5.3

$x = - 1$ で微分係数は $60$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, 0)$ で増加

ステップ 6

区間 $(0, 4)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = 12 {(2)}^{2} - 48 \cdot 2$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (2) = 12 \cdot 4 - 48 \cdot 2$

ステップ 6.2.1.2

$12$ に $4$ をかけます。

$f' (2) = 48 - 48 \cdot 2$

ステップ 6.2.1.3

$- 48$ に $2$ をかけます。

$f' (2) = 48 - 96$

ステップ 6.2.2

$48$ から $96$ を引きます。

$f' (2) = - 48$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 48$ です。

$- 48$

ステップ 6.3

$x = 2$ で微分係数は $- 48$ です。これは負の値なので、関数は $(0, 4)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, 4)$ で減少

ステップ 7

区間 $(4, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f' (5) = 12 {(5)}^{2} - 48 \cdot 5$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$f' (5) = 12 \cdot 25 - 48 \cdot 5$

ステップ 7.2.1.2

$12$ に $25$ をかけます。

$f' (5) = 300 - 48 \cdot 5$

ステップ 7.2.1.3

$- 48$ に $5$ をかけます。

$f' (5) = 300 - 240$

ステップ 7.2.2

$300$ から $240$ を引きます。

$f' (5) = 60$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $60$ です。

$60$

ステップ 7.3

$x = 5$ で微分係数は $60$ です。これは正の値なので、関数は $(4, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(4, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, 0), (4, \infty)$ で増加

$(0, 4)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

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