微分積分例

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $3 x^{5} - 5 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{5}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

ステップ 1.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

ステップ 1.1.2.3

$5$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{3}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{3}$

ステップ 1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (3 x^{2})$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $- 5$ をかけます。

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $15 x^{4} - 15 x^{2}$ です。

$15 x^{4} - 15 x^{2}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$15 {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$15 u^{2} - 15 u = 0$

ステップ 2.2.3

$15 u$ を $15 u^{2} - 15 u$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.3.1

$15 u$ を $15 u^{2}$ で因数分解します。

$15 u (u) - 15 u = 0$

ステップ 2.2.3.2

$15 u$ を $- 15 u$ で因数分解します。

$15 u (u) + 15 u (- 1) = 0$

ステップ 2.2.3.3

$15 u$ を $15 u (u) + 15 u (- 1)$ で因数分解します。

$15 u (u - 1) = 0$

ステップ 2.2.4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

ステップ 2.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x^{2} - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x^{2} - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 1 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x^{2} = 1$

ステップ 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 2.5.2.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 2.5.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.5.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 2.5.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 2.5.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 2.6

最終解は $15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 1, - 1$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, 1, - 1$ です。

$0, 1, - 1$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 1)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = 15 {(- 2)}^{4} - 15 {(- 2)}^{2}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 2$ を $4$ 乗します。

$f' (- 2) = 15 \cdot 16 - 15 {(- 2)}^{2}$

ステップ 5.2.1.2

$15$ に $16$ をかけます。

$f' (- 2) = 240 - 15 {(- 2)}^{2}$

ステップ 5.2.1.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2) = 240 - 15 \cdot 4$

ステップ 5.2.1.4

$- 15$ に $4$ をかけます。

$f' (- 2) = 240 - 60$

ステップ 5.2.2

$240$ から $60$ を引きます。

$f' (- 2) = 180$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $180$ です。

$180$

ステップ 5.3

$x = - 2$ で微分係数は $180$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, - 1)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 1)$ で増加

ステップ 6

区間 $(- 1, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- \frac{1}{2}$ で置換えます。

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 {(- \frac{1}{2})}^{4} - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 6.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.1.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 ({(- 1)}^{4} (\frac{1^{4}}{2^{4}})) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (1 (\frac{1^{4}}{2^{4}})) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.3

$\frac{1^{4}}{2^{4}}$ に $1$ をかけます。

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{2^{4}}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.5

$2$ を $4$ 乗します。

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{16}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.6

$15$ と $\frac{1}{16}$ をまとめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.7

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 6.2.1.7.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

ステップ 6.2.1.7.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

ステップ 6.2.1.8

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

ステップ 6.2.1.9

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

ステップ 6.2.1.10

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1}{2^{2}}$

ステップ 6.2.1.11

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (\frac{1}{4})$

ステップ 6.2.1.12

$- 15$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} + \frac{- 15}{4}$

ステップ 6.2.1.13

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4}$

ステップ 6.2.2

$- \frac{15}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 6.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $16$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$\frac{15}{4}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3.2

$4$ に $4$ をかけます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{16}$

ステップ 6.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 - 15 \cdot 4}{16}$

ステップ 6.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1

$- 15$ に $4$ をかけます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 - 60}{16}$

ステップ 6.2.5.2

$15$ から $60$ を引きます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 45}{16}$

ステップ 6.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{45}{16}$

ステップ 6.2.7

最終的な答えは $- \frac{45}{16}$ です。

$- \frac{45}{16}$

ステップ 6.3

$x = - \frac{1}{2}$ で微分係数は $- \frac{45}{16}$ です。これは負の値なので、関数は $(- 1, 0)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- 1, 0)$ で減少

ステップ 7

区間 $(0, 1)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $\frac{1}{2}$ で置換えます。

$f' (\frac{1}{2}) = 15 {(\frac{1}{2})}^{4} - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{2^{4}}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.3

$2$ を $4$ 乗します。

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{16}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.4

$15$ と $\frac{1}{16}$ をまとめます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.5

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

ステップ 7.2.1.6

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1}{2^{2}}$

ステップ 7.2.1.7

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (\frac{1}{4})$

ステップ 7.2.1.8

$- 15$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} + \frac{- 15}{4}$

ステップ 7.2.1.9

分数の前に負数を移動させます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4}$

ステップ 7.2.2

$- \frac{15}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 7.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $16$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 7.2.3.1

$\frac{15}{4}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

ステップ 7.2.3.2

$4$ に $4$ をかけます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{16}$

ステップ 7.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15 - 15 \cdot 4}{16}$

ステップ 7.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.5.1

$- 15$ に $4$ をかけます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15 - 60}{16}$

ステップ 7.2.5.2

$15$ から $60$ を引きます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 45}{16}$

ステップ 7.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{45}{16}$

ステップ 7.2.7

最終的な答えは $- \frac{45}{16}$ です。

$- \frac{45}{16}$

ステップ 7.3

$x = \frac{1}{2}$ で微分係数は $- \frac{45}{16}$ です。これは負の値なので、関数は $(0, 1)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, 1)$ で減少

ステップ 8

区間 $(1, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = 15 {(2)}^{4} - 15 {(2)}^{2}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$2$ を $4$ 乗します。

$f' (2) = 15 \cdot 16 - 15 {(2)}^{2}$

ステップ 8.2.1.2

$15$ に $16$ をかけます。

$f' (2) = 240 - 15 {(2)}^{2}$

ステップ 8.2.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (2) = 240 - 15 \cdot 4$

ステップ 8.2.1.4

$- 15$ に $4$ をかけます。

$f' (2) = 240 - 60$

ステップ 8.2.2

$240$ から $60$ を引きます。

$f' (2) = 180$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $180$ です。

$180$

ステップ 8.3

$x = 2$ で微分係数は $180$ です。これは正の値なので、関数は $(1, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(1, \infty)$ で増加

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - 1), (1, \infty)$ で増加

$(- 1, 0), (0, 1)$ で減少

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例