微分積分例

$f (x) = 4 x^{2} + 4 x + 6$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $4 x^{2} + 4 x + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $4$ をかけます。

$8 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$8 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$8 x + 4 + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$8 x + 4 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$8 x + 4$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 8 x + 4$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $8 x + 4$ です。

$8 x + 4$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $8 x + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$8 x + 4 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$8 x = - 4$

ステップ 2.3

$8 x = - 4$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$8 x = - 4$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 4}{8}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 4}{8}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 4}{8}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$- 4$ と $8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.1.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$x = \frac{4 (- 1)}{8}$

ステップ 2.3.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.1.2.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

ステップ 2.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

ステップ 2.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $- \frac{1}{2}$ です。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 4

微分係数 $f' (x) = 8 x + 4$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = 4 x^{2} + 4 x + 6$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$ です。

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- \frac{3}{2}$ で置換えます。

$f' (- \frac{3}{2}) = 8 (- \frac{3}{2}) + 4$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1.1

$- \frac{3}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f' (- \frac{3}{2}) = 8 (\frac{- 3}{2}) + 4$

ステップ 5.2.1.1.2

$2$ を $8$ で因数分解します。

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 (4) (\frac{- 3}{2}) + 4$

ステップ 5.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (4 (\frac{- 3}{2})) + 4$

ステップ 5.2.1.1.4

式を書き換えます。

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 \cdot - 3 + 4$

ステップ 5.2.1.2

$4$ に $- 3$ をかけます。

$f' (- \frac{3}{2}) = - 12 + 4$

ステップ 5.2.2

$- 12$ と $4$ をたし算します。

$f' (- \frac{3}{2}) = - 8$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 8$ です。

$- 8$

ステップ 5.3

$x = - \frac{3}{2}$ で微分係数は $- 8$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - \frac{1}{2})$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - \frac{1}{2})$ で減少

ステップ 6

区間 $(- \frac{1}{2}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $\frac{1}{2}$ で置換えます。

$f' (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{1}{2}) + 4$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (4) (\frac{1}{2}) + 4$

ステップ 6.2.1.2

共通因数を約分します。

$f' (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (4 (\frac{1}{2})) + 4$

ステップ 6.2.1.3

式を書き換えます。

$f' (\frac{1}{2}) = 4 + 4$

ステップ 6.2.2

$4$ と $4$ をたし算します。

$f' (\frac{1}{2}) = 8$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $8$ です。

$8$

ステップ 6.3

$x = \frac{1}{2}$ で微分係数は $8$ です。これは正の値なので、関数は $(- \frac{1}{2}, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \frac{1}{2}, \infty)$ で増加

ステップ 7

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \frac{1}{2}, \infty)$ で増加

$(- \infty, - \frac{1}{2})$ で減少

ステップ 8

微分積分 例

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