微分積分例

$f (x) = - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $- 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{4}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.3

$4$ に $- 5$ をかけます。

$- 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{2}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 20 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 20 x^{3} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 4$ をかけます。

$- 20 x^{3} - 8 x + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$- 20 x^{3} - 8 x + 0$

ステップ 1.1.4.2

$- 20 x^{3} - 8 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 20 x^{3} - 8 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 20 x^{3} - 8 x$ です。

$- 20 x^{3} - 8 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 20 x^{3} - 8 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 20 x^{3} - 8 x = 0$

ステップ 2.2

$- 4 x$ を $- 20 x^{3} - 8 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$- 4 x$ を $- 20 x^{3}$ で因数分解します。

$- 4 x (5 x^{2}) - 8 x = 0$

ステップ 2.2.2

$- 4 x$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$- 4 x (5 x^{2}) - 4 x \cdot 2 = 0$

ステップ 2.2.3

$- 4 x$ を $- 4 x (5 x^{2}) - 4 x (2)$ で因数分解します。

$- 4 x (5 x^{2} + 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$5 x^{2} + 2 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$5 x^{2} + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$5 x^{2} + 2$ が $0$ に等しいとします。

$5 x^{2} + 2 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $5 x^{2} + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$5 x^{2} = - 2$

ステップ 2.5.2.2

$5 x^{2} = - 2$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

$5 x^{2} = - 2$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

ステップ 2.5.2.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 2}{5}$

ステップ 2.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} = - \frac{2}{5}$

ステップ 2.5.2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$

ステップ 2.5.2.4

$\pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$ を簡約します。

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ステップ 2.5.2.4.1

$- 1$ を $i^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2}{5}}$

ステップ 2.5.2.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \sqrt{\frac{2}{5}}$

ステップ 2.5.2.4.3

$\sqrt{\frac{2}{5}}$ を $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

ステップ 2.5.2.4.4

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$x = \pm i (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

ステップ 2.5.2.4.5

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.5.2.4.5.1

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 2.5.2.4.5.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

ステップ 2.5.2.4.5.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

ステップ 2.5.2.4.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.5.2.4.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.5.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 2.5.2.4.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.5.2.4.5.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.5.2.4.5.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.4.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.5.2.4.5.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

ステップ 2.5.2.4.5.6.5

指数を求めます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

ステップ 2.5.2.4.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.2.4.6.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

ステップ 2.5.2.4.6.2

$2$ に $5$ をかけます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 2.5.2.4.7

$i$ と $\frac{\sqrt{10}}{5}$ をまとめます。

$x = \pm \frac{i \sqrt{10}}{5}$

ステップ 2.5.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.5.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}$

ステップ 2.5.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

ステップ 2.5.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

ステップ 2.6

最終解は $- 4 x (5 x^{2} + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0$ です。

$0$

ステップ 4

微分係数 $f' (x) = - 20 x^{3} - 8 x$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = - 20 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f' (- 1) = - 20 \cdot - 1 - 8 \cdot - 1$

ステップ 5.2.1.2

$- 20$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = 20 - 8 \cdot - 1$

ステップ 5.2.1.3

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = 20 + 8$

ステップ 5.2.2

$20$ と $8$ をたし算します。

$f' (- 1) = 28$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $28$ です。

$28$

ステップ 5.3

$x = - 1$ で微分係数は $28$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, 0)$ で増加

ステップ 6

区間 $(0, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = - 20 {(1)}^{3} - 8 \cdot 1$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = - 20 \cdot 1 - 8 \cdot 1$

ステップ 6.2.1.2

$- 20$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = - 20 - 8 \cdot 1$

ステップ 6.2.1.3

$- 8$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = - 20 - 8$

ステップ 6.2.2

$- 20$ から $8$ を引きます。

$f' (1) = - 28$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 28$ です。

$- 28$

ステップ 6.3

$x = 1$ で微分係数は $- 28$ です。これは負の値なので、関数は $(0, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, \infty)$ で減少

ステップ 7

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, 0)$ で増加

$(0, \infty)$ で減少

ステップ 8

微分積分 例

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