微分積分例

$f (x) = 64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [64 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$64$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $64 x^{2}$ の微分係数は $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$64 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $64$ をかけます。

$128 x + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{54}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$54$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{54}{x}$ の微分係数は $54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$128 x + 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.1.3.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$128 x + 54 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.1.3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$128 x + 54 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.1.3.4

$- 1$ に $54$ をかけます。

$128 x - 54 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.1.4

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$128 x - 54 x^{- 2} + 0$

ステップ 1.1.5

簡約します。

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ステップ 1.1.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$128 x - 54 \frac{1}{x^{2}} + 0$

ステップ 1.1.5.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.5.2.1

$- 54$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$128 x + \frac{- 54}{x^{2}} + 0$

ステップ 1.1.5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$128 x - \frac{54}{x^{2}} + 0$

ステップ 1.1.5.2.3

$128 x - \frac{54}{x^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 128 x - \frac{54}{x^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $128 x - \frac{54}{x^{2}}$ です。

$128 x - \frac{54}{x^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$

ステップ 2.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, x^{2}, 1$

ステップ 2.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{2}$

ステップ 2.3

$128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ の各項に $x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.3.1

$128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ の各項に $x^{2}$ を掛けます。

$128 x \cdot x^{2} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.2.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$128 (x^{2} x) - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 2.3.2.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$128 (x^{2} x^{1}) - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$128 x^{2 + 1} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$128 x^{3} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.2.1

$- \frac{54}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$128 x^{3} + \frac{- 54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$128 x^{3} + \frac{- 54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$128 x^{3} - 54 = 0 x^{2}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$0$ に $x^{2}$ をかけます。

$128 x^{3} - 54 = 0$

ステップ 2.4

方程式を解きます。

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ステップ 2.4.1

方程式の両辺に $54$ を足します。

$128 x^{3} = 54$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $54$ を引きます。

$128 x^{3} - 54 = 0$

ステップ 2.4.3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.4.3.1

$2$ を $128 x^{3} - 54$ で因数分解します。

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ステップ 2.4.3.1.1

$2$ を $128 x^{3}$ で因数分解します。

$2 (64 x^{3}) - 54 = 0$

ステップ 2.4.3.1.2

$2$ を $- 54$ で因数分解します。

$2 (64 x^{3}) + 2 (- 27) = 0$

ステップ 2.4.3.1.3

$2$ を $2 (64 x^{3}) + 2 (- 27)$ で因数分解します。

$2 (64 x^{3} - 27) = 0$

ステップ 2.4.3.2

$64 x^{3}$ を ${(4 x)}^{3}$ に書き換えます。

$2 ({(4 x)}^{3} - 27) = 0$

ステップ 2.4.3.3

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$2 ({(4 x)}^{3} - 3^{3}) = 0$

ステップ 2.4.3.4

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 4 x$ であり、 $b = 3$ です。

$2 ((4 x - 3) ({(4 x)}^{2} + 4 x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

ステップ 2.4.3.5

因数分解。

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ステップ 2.4.3.5.1

簡約します。

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ステップ 2.4.3.5.1.1

積の法則を $4 x$ に当てはめます。

$2 ((4 x - 3) (4^{2} x^{2} + 4 x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

ステップ 2.4.3.5.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$2 ((4 x - 3) (16 x^{2} + 4 x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

ステップ 2.4.3.5.1.3

$3$ に $4$ をかけます。

$2 ((4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 3^{2})) = 0$

ステップ 2.4.3.5.1.4

$3$ を $2$ 乗します。

$2 ((4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 9)) = 0$

ステップ 2.4.3.5.2

不要な括弧を削除します。

$2 (4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 9) = 0$

ステップ 2.4.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$4 x - 3 = 0$

$16 x^{2} + 12 x + 9 = 0$

ステップ 2.4.5

$4 x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.5.1

$4 x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$4 x - 3 = 0$

ステップ 2.4.5.2

$x$ について $4 x - 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$4 x = 3$

ステップ 2.4.5.2.2

$4 x = 3$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.5.2.2.1

$4 x = 3$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

ステップ 2.4.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.5.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

ステップ 2.4.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{3}{4}$

ステップ 2.4.6

$16 x^{2} + 12 x + 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.6.1

$16 x^{2} + 12 x + 9$ が $0$ に等しいとします。

$16 x^{2} + 12 x + 9 = 0$

ステップ 2.4.6.2

$x$ について $16 x^{2} + 12 x + 9 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.4.6.2.2

$a = 16$ 、 $b = 12$ 、および $c = 9$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 9)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.2.3.1.1

$12$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 16 \cdot 9$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.2.2

$- 64$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.3

$144$ から $576$ を引きます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.4

$- 432$ を $- 1 (432)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (432)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.7

$432$ を $12^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.2.3.1.7.1

$144$ を $432$ で因数分解します。

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.7.2

$144$ を $12^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.9

$12$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.3.2

$2$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

ステップ 2.4.6.2.3.3

$\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ を簡約します。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.4.6.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.4.6.2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.6.2.4.1.1

$12$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 16 \cdot 9$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.2.4.1.2.1

$- 4$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.4.1.2.2

$- 64$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.4.1.3

$144$ から $576$ を引きます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.4.1.4

$- 432$ を $- 1 (432)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (432)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.4.1.7

$432$ を $12^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.2.4.1.7.1

$144$ を $432$ で因数分解します。

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.4.1.7.2

$144$ を $12^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.4.1.9

$12$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.4.2

$2$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

ステップ 2.4.6.2.4.3

$\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ を簡約します。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.4.6.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.4.6.2.4.5

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.4.6.2.4.6

$- 1$ を $3 i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{8}$

ステップ 2.4.6.2.4.7

$- 1$ を $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{8}$

ステップ 2.4.6.2.4.8

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.4.6.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.2.5.1.1

$12$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 16 \cdot 9$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.2.5.1.2.1

$- 4$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.5.1.2.2

$- 64$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.5.1.3

$144$ から $576$ を引きます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.5.1.4

$- 432$ を $- 1 (432)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (432)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.5.1.7

$432$ を $12^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.2.5.1.7.1

$144$ を $432$ で因数分解します。

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.5.1.7.2

$144$ を $12^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.5.1.9

$12$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.4.6.2.5.2

$2$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

ステップ 2.4.6.2.5.3

$\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ を簡約します。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.4.6.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.4.6.2.5.5

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.4.6.2.5.6

$- 1$ を $- 3 i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{8}$

ステップ 2.4.6.2.5.7

$- 1$ を $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{8}$

ステップ 2.4.6.2.5.8

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.4.6.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.4.7

最終解は $2 (4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 9) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{3}{4}, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $\frac{3}{4}$ です。

$\frac{3}{4}$

ステップ 4

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{54}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 5

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3}{4}) \cup (\frac{3}{4}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = 128 (- 1) - \frac{54}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$128$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = - 128 - \frac{54}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = - 128 - \frac{54}{1}$

ステップ 6.2.1.3

$54$ を $1$ で割ります。

$f' (- 1) = - 128 - 1 \cdot 54$

ステップ 6.2.1.4

$- 1$ に $54$ をかけます。

$f' (- 1) = - 128 - 54$

ステップ 6.2.2

$- 128$ から $54$ を引きます。

$f' (- 1) = - 182$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 182$ です。

$- 182$

ステップ 6.3

$x = - 1$ で微分係数は $- 182$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, 0)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, 0)$ で減少

ステップ 7

区間 $(0, \frac{3}{4})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0.375$ で置換えます。

$f' (0.375) = 128 (0.375) - \frac{54}{{(0.375)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$128$ に $0.375$ をかけます。

$f' (0.375) = 48 - \frac{54}{{(0.375)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

$0.375$ を $2$ 乗します。

$f' (0.375) = 48 - \frac{54}{0.140625}$

ステップ 7.2.1.3

$54$ を $0.140625$ で割ります。

$f' (0.375) = 48 - 1 \cdot 384$

ステップ 7.2.1.4

$- 1$ に $384$ をかけます。

$f' (0.375) = 48 - 384$

ステップ 7.2.2

$48$ から $384$ を引きます。

$f' (0.375) = - 336$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 336$ です。

$- 336$

ステップ 7.3

$x = 0.375$ で微分係数は $- 336$ です。これは負の値なので、関数は $(0, \frac{3}{4})$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, \frac{3}{4})$ で減少

ステップ 8

区間 $(\frac{3}{4}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $1.75$ で置換えます。

$f' (1.75) = 128 (1.75) - \frac{54}{{(1.75)}^{2}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$128$ に $1.75$ をかけます。

$f' (1.75) = 224 - \frac{54}{{(1.75)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.2

$1.75$ を $2$ 乗します。

$f' (1.75) = 224 - \frac{54}{3.0625}$

ステップ 8.2.1.3

$54$ を $3.0625$ で割ります。

$f' (1.75) = 224 - 1 \cdot 17.63265306$

ステップ 8.2.1.4

$- 1$ に $17.63265306$ をかけます。

$f' (1.75) = 224 - 17.63265306$

ステップ 8.2.2

$224$ から $17.63265306$ を引きます。

$f' (1.75) = 206.36734693$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $206.36734693$ です。

$206.36734693$

ステップ 8.3

$x = 1.75$ で微分係数は $206.36734693$ です。これは正の値なので、関数は $(\frac{3}{4}, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(\frac{3}{4}, \infty)$ で増加

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(\frac{3}{4}, \infty)$ で増加

$(- \infty, 0), (0, \frac{3}{4})$ で減少

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例