微分積分例

$f (x) = x {(2 x - 3)}^{2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

${(2 x - 3)}^{2}$ を $(2 x - 3) (2 x - 3)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x ((2 x - 3) (2 x - 3))]$

ステップ 1.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x - 3) (2 x - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3))]$

ステップ 1.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x - 3))]$

ステップ 1.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

ステップ 1.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

ステップ 1.1.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

ステップ 1.1.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

ステップ 1.1.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

ステップ 1.1.3.1.4

$- 3$ に $2$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

ステップ 1.1.3.1.5

$2$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 6 x - 3 \cdot - 3)]$

ステップ 1.1.3.1.6

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 6 x + 9)]$

ステップ 1.1.3.2

$- 6 x$ から $6 x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 12 x + 9)]$

ステップ 1.1.4

$f (x) = x$ および $g (x) = 4 x^{2} - 12 x + 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x + 9] + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

総和則では、 $4 x^{2} - 12 x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$x (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.5.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.5.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.5.4

$2$ に $4$ をかけます。

$x (8 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.5.5

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x (8 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.5.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (8 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.5.7

$- 12$ に $1$ をかけます。

$x (8 x - 12 + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.5.8

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$x (8 x - 12 + 0) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.5.9

$8 x - 12$ と $0$ をたし算します。

$x (8 x - 12) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.5.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (8 x - 12) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \cdot 1$

ステップ 1.1.5.11

$4 x^{2} - 12 x + 9$ に $1$ をかけます。

$x (8 x - 12) + 4 x^{2} - 12 x + 9$

ステップ 1.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

分配則を当てはめます。

$x (8 x) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

ステップ 1.1.6.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$8 (x^{1} x) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

ステップ 1.1.6.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$8 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

ステップ 1.1.6.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 x^{1 + 1} + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

ステップ 1.1.6.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$8 x^{2} + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

ステップ 1.1.6.2.5

$- 12$ を $x$ の左に移動させます。

$8 x^{2} - 12 \cdot x + 4 x^{2} - 12 x + 9$

ステップ 1.1.6.2.6

$8 x^{2}$ と $4 x^{2}$ をたし算します。

$12 x^{2} - 12 x - 12 x + 9$

ステップ 1.1.6.2.7

$- 12 x$ から $12 x$ を引きます。

$f' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 9$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 x^{2} - 24 x + 9$ です。

$12 x^{2} - 24 x + 9$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} - 24 x + 9 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} - 24 x + 9 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ を $12 x^{2} - 24 x + 9$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$3$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$3 (4 x^{2}) - 24 x + 9 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$3$ を $- 24 x$ で因数分解します。

$3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x) + 9 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$3$ を $9$ で因数分解します。

$3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x) + 3 (3) = 0$

ステップ 2.2.1.4

$3$ を $3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x)$ で因数分解します。

$3 (4 x^{2} - 8 x) + 3 (3) = 0$

ステップ 2.2.1.5

$3$ を $3 (4 x^{2} - 8 x) + 3 (3)$ で因数分解します。

$3 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ で和が $b = - 8$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1.1

$- 8$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$3 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

ステップ 2.2.2.1.1.2

$- 8$ を $- 2$ プラス $- 6$ に書き換える

$3 (4 x^{2} + (- 2 - 6) x + 3) = 0$

ステップ 2.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$3 (4 x^{2} - 2 x - 6 x + 3) = 0$

ステップ 2.2.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$3 ((4 x^{2} - 2 x) - 6 x + 3) = 0$

ステップ 2.2.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$3 (2 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)) = 0$

ステップ 2.2.2.1.3

最大公約数 $2 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$3 ((2 x - 1) (2 x - 3)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$3 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x - 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

ステップ 2.4

$2 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$2 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 1 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $2 x - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x = 1$

ステップ 2.4.2.2

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 2.5

$2 x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$2 x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 3 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $2 x - 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$2 x = 3$

ステップ 2.5.2.2

$2 x = 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1

$2 x = 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 2.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{3}{2}$

ステップ 2.6

最終解は $3 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$ です。

$\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, \frac{1}{2})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 0.5$ で置換えます。

$f' (- 0.5) = 12 {(- 0.5)}^{2} - 24 \cdot - 0.5 + 9$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 0.5$ を $2$ 乗します。

$f' (- 0.5) = 12 \cdot 0.25 - 24 \cdot - 0.5 + 9$

ステップ 5.2.1.2

$12$ に $0.25$ をかけます。

$f' (- 0.5) = 3 - 24 \cdot - 0.5 + 9$

ステップ 5.2.1.3

$- 24$ に $- 0.5$ をかけます。

$f' (- 0.5) = 3 + 12 + 9$

ステップ 5.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$3$ と $12$ をたし算します。

$f' (- 0.5) = 15 + 9$

ステップ 5.2.2.2

$15$ と $9$ をたし算します。

$f' (- 0.5) = 24$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $24$ です。

$24$

ステップ 5.3

$x = - 0.5$ で微分係数は $24$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, \frac{1}{2})$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, \frac{1}{2})$ で増加

ステップ 6

区間 $(0.5, \frac{3}{2})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 9$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 9$

ステップ 6.2.1.2

$12$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 12 - 24 \cdot 1 + 9$

ステップ 6.2.1.3

$- 24$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 12 - 24 + 9$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$12$ から $24$ を引きます。

$f' (1) = - 12 + 9$

ステップ 6.2.2.2

$- 12$ と $9$ をたし算します。

$f' (1) = - 3$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 3$ です。

$- 3$

ステップ 6.3

$x = 1$ で微分係数は $- 3$ です。これは負の値なので、関数は $(0.5, \frac{3}{2})$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ で減少

ステップ 7

区間 $(\frac{3}{2}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $2.5$ で置換えます。

$f' (2.5) = 12 {(2.5)}^{2} - 24 \cdot 2.5 + 9$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$2.5$ を $2$ 乗します。

$f' (2.5) = 12 \cdot 6.25 - 24 \cdot 2.5 + 9$

ステップ 7.2.1.2

$12$ に $6.25$ をかけます。

$f' (2.5) = 75 - 24 \cdot 2.5 + 9$

ステップ 7.2.1.3

$- 24$ に $2.5$ をかけます。

$f' (2.5) = 75 - 60 + 9$

ステップ 7.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$75$ から $60$ を引きます。

$f' (2.5) = 15 + 9$

ステップ 7.2.2.2

$15$ と $9$ をたし算します。

$f' (2.5) = 24$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $24$ です。

$24$

ステップ 7.3

$x = 2.5$ で微分係数は $24$ です。これは正の値なので、関数は $(\frac{3}{2}, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(\frac{3}{2}, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, \frac{1}{2}), (\frac{3}{2}, \infty)$ で増加

$(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

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