微分積分例

$f (x) = 8 x^{3} + 7 x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $8 x^{3} + 7 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $8$ をかけます。

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [7 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$24 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$24 x^{2} + 7 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$7$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 24 x^{2} + 7$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $24 x^{2} + 7$ です。

$24 x^{2} + 7$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $24 x^{2} + 7 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$24 x^{2} + 7 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$24 x^{2} = - 7$

ステップ 2.3

$24 x^{2} = - 7$ の各項を $24$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$24 x^{2} = - 7$ の各項を $24$ で割ります。

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 7}{24}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$24$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 7}{24}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 7}{24}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} = - \frac{7}{24}$

ステップ 2.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- \frac{7}{24}}$

ステップ 2.5

$\pm \sqrt{- \frac{7}{24}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$- \frac{7}{24}$ を ${(\frac{i}{2})}^{2} \frac{7}{6}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.1

$- 1$ を $i^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{7}{24}}$

ステップ 2.5.1.2

$7$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{24}}$

ステップ 2.5.1.3

$24$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{2^{2} \cdot 6}}$

ステップ 2.5.1.4

分数 $\frac{1^{2} \cdot 7}{2^{2} \cdot 6}$ を並べ替えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \frac{7}{6})}$

ステップ 2.5.1.5

$i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ を ${(\frac{i}{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \frac{7}{6}}$

ステップ 2.5.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{\frac{7}{6}}$

ステップ 2.5.3

$\sqrt{\frac{7}{6}}$ を $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$

ステップ 2.5.4

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ に $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{i}{2} (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

ステップ 2.5.5

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.1

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ に $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

ステップ 2.5.5.2

$\sqrt{6}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

ステップ 2.5.5.3

$\sqrt{6}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

ステップ 2.5.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.5.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

ステップ 2.5.5.6

${\sqrt{6}}^{2}$ を $6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6}$ を $6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.5.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.5.5.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.5.5.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.5.5.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{1}}$

ステップ 2.5.5.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6}$

ステップ 2.5.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7 \cdot 6}}{6}$

ステップ 2.5.6.2

$7$ に $6$ をかけます。

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{42}}{6}$

ステップ 2.5.7

$\frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{42}}{6}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.7.1

$\frac{i}{2}$ に $\frac{\sqrt{42}}{6}$ をかけます。

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{2 \cdot 6}$

ステップ 2.5.7.2

$2$ に $6$ をかけます。

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{12}$

ステップ 2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{i \sqrt{42}}{12}$

ステップ 2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{i \sqrt{42}}{12}$

ステップ 2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{i \sqrt{42}}{12}, - \frac{i \sqrt{42}}{12}$

ステップ 3

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 4

微分係数 $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ を $0$ または未定義にする点はありません。 $f (x) = 8 x^{3} + 7 x$ の増加・減少を確認する区間は $(- \infty, \infty)$ です。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, \infty)$ から $1$ などの任意の数を微分係数 $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ に代入し、結果が負か正か確認します。結果が負ならば、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で減少します。結果が正ならば、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で増加しています。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = 24 {(1)}^{2} + 7$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 24 \cdot 1 + 7$

ステップ 5.2.1.2

$24$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 24 + 7$

ステップ 5.2.2

$24$ と $7$ をたし算します。

$f' (1) = 31$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $31$ です。

$31$

ステップ 6

$1$ を $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ に代入した結果は $31$ です。これは正なので、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で増加します。

$24 x^{2} + 7 > 0$ なので $(- \infty, \infty)$ で増加

ステップ 7

区間 $(- \infty, \infty)$ で増加することは、関数が常に増加しているという意味です。

常に増加

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例