微分積分例

$f (x) = 19 x + \frac{1}{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $19 x + \frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [19 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (19 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [19 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$19$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $19 x$ の微分係数は $19 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 19 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 19 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

ステップ 1.1.2.3

$19$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 19 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = 19 + \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

ステップ 1.1.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 19 - x^{- 2}$

ステップ 1.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = 19 - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.5

項を並べ替えます。

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 19$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{1}{x^{2}} + 19$ です。

$- \frac{1}{x^{2}} + 19$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{1}{x^{2}} + 19 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{1}{x^{2}} + 19 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $19$ を引きます。

$- \frac{1}{x^{2}} = - 19$

ステップ 2.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{2}, 1$

ステップ 2.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{2}$

ステップ 2.4

$- \frac{1}{x^{2}} = - 19$ の各項に $x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.4.1

$- \frac{1}{x^{2}} = - 19$ の各項に $x^{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 19 x^{2}$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1.1

$- \frac{1}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 19 x^{2}$

ステップ 2.4.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 19 x^{2}$

ステップ 2.4.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = - 19 x^{2}$

ステップ 2.5

方程式を解きます。

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ステップ 2.5.1

方程式を $- 19 x^{2} = - 1$ として書き換えます。

$- 19 x^{2} = - 1$

ステップ 2.5.2

$- 19 x^{2} = - 1$ の各項を $- 19$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$- 19 x^{2} = - 1$ の各項を $- 19$ で割ります。

$\frac{- 19 x^{2}}{- 19} = \frac{- 1}{- 19}$

ステップ 2.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

$- 19$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 19 x^{2}}{- 19} = \frac{- 1}{- 19}$

ステップ 2.5.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 1}{- 19}$

ステップ 2.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x^{2} = \frac{1}{19}$

ステップ 2.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{19}}$

ステップ 2.5.4

$\pm \sqrt{\frac{1}{19}}$ を簡約します。

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ステップ 2.5.4.1

$\sqrt{\frac{1}{19}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{19}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{19}}$

ステップ 2.5.4.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{19}}$

ステップ 2.5.4.3

$\frac{1}{\sqrt{19}}$ に $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{19}} \cdot \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$

ステップ 2.5.4.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.5.4.4.1

$\frac{1}{\sqrt{19}}$ に $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19} \sqrt{19}}$

ステップ 2.5.4.4.2

$\sqrt{19}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1} \sqrt{19}}$

ステップ 2.5.4.4.3

$\sqrt{19}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1} {\sqrt{19}}^{1}}$

ステップ 2.5.4.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.5.4.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{2}}$

ステップ 2.5.4.4.6

${\sqrt{19}}^{2}$ を $19$ に書き換えます。

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ステップ 2.5.4.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{19}$ を $19^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.5.4.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.5.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.5.4.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.4.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.5.4.4.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{1}}$

ステップ 2.5.4.4.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19}$

ステップ 2.5.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.5.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{19}}{19}$

ステップ 2.5.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{19}}{19}$

ステップ 2.5.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{19}}{19}, - \frac{\sqrt{19}}{19}$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $\frac{\sqrt{19}}{19}, - \frac{\sqrt{19}}{19}$ です。

$\frac{\sqrt{19}}{19}, - \frac{\sqrt{19}}{19}$

ステップ 4

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 5

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19}) \cup (- \frac{\sqrt{19}}{19}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{19}}{19}) \cup (\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1.22941573$ で置換えます。

$f' (- 1.22941573) = - \frac{1}{{(- 1.22941573)}^{2}} + 19$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 1.22941573$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1.22941573) = - \frac{1}{1.51146303} + 19$

ステップ 6.2.1.2

$1$ を $1.51146303$ で割ります。

$f' (- 1.22941573) = - 1 \cdot 0.66161062 + 19$

ステップ 6.2.1.3

$- 1$ に $0.66161062$ をかけます。

$f' (- 1.22941573) = - 0.66161062 + 19$

ステップ 6.2.2

$- 0.66161062$ と $19$ をたし算します。

$f' (- 1.22941573) = 18.33838937$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $18.33838937$ です。

$18.33838937$

ステップ 6.3

$x = - 1.22941573$ で微分係数は $18.33838937$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19})$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19})$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 0.22941573, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 0.11470786$ で置換えます。

$f' (- 0.11470786) = - \frac{1}{{(- 0.11470786)}^{2}} + 19$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$- 0.11470786$ を $2$ 乗します。

$f' (- 0.11470786) = - \frac{1}{0.01315789} + 19$

ステップ 7.2.1.2

$1$ を $0.01315789$ で割ります。

$f' (- 0.11470786) = - 1 \cdot 76.00000256 + 19$

ステップ 7.2.1.3

$- 1$ に $76.00000256$ をかけます。

$f' (- 0.11470786) = - 76.00000256 + 19$

ステップ 7.2.2

$- 76.00000256$ と $19$ をたし算します。

$f' (- 0.11470786) = - 57.00000256$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 57.00000256$ です。

$- 57.00000256$

ステップ 7.3

$x = - 0.11470786$ で微分係数は $- 57.00000256$ です。これは負の値なので、関数は $(- 0.22941573, 0)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \frac{\sqrt{19}}{19}, 0)$ で減少

ステップ 8

区間 $(0, \frac{\sqrt{19}}{19})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $0.11470786$ で置換えます。

$f' (0.11470786) = - \frac{1}{{(0.11470786)}^{2}} + 19$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$0.11470786$ を $2$ 乗します。

$f' (0.11470786) = - \frac{1}{0.01315789} + 19$

ステップ 8.2.1.2

$1$ を $0.01315789$ で割ります。

$f' (0.11470786) = - 1 \cdot 76.00000256 + 19$

ステップ 8.2.1.3

$- 1$ に $76.00000256$ をかけます。

$f' (0.11470786) = - 76.00000256 + 19$

ステップ 8.2.2

$- 76.00000256$ と $19$ をたし算します。

$f' (0.11470786) = - 57.00000256$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $- 57.00000256$ です。

$- 57.00000256$

ステップ 8.3

$x = 0.11470786$ で微分係数は $- 57.00000256$ です。これは負の値なので、関数は $(0, \frac{\sqrt{19}}{19})$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, \frac{\sqrt{19}}{19})$ で減少

ステップ 9

区間 $(\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $1.22941573$ で置換えます。

$f' (1.22941573) = - \frac{1}{{(1.22941573)}^{2}} + 19$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

$1.22941573$ を $2$ 乗します。

$f' (1.22941573) = - \frac{1}{1.51146303} + 19$

ステップ 9.2.1.2

$1$ を $1.51146303$ で割ります。

$f' (1.22941573) = - 1 \cdot 0.66161062 + 19$

ステップ 9.2.1.3

$- 1$ に $0.66161062$ をかけます。

$f' (1.22941573) = - 0.66161062 + 19$

ステップ 9.2.2

$- 0.66161062$ と $19$ をたし算します。

$f' (1.22941573) = 18.33838937$

ステップ 9.2.3

最終的な答えは $18.33838937$ です。

$18.33838937$

ステップ 9.3

$x = 1.22941573$ で微分係数は $18.33838937$ です。これは正の値なので、関数は $(\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$ で増加

ステップ 10

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19}), (\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$ で増加

$(- \frac{\sqrt{19}}{19}, 0), (0, \frac{\sqrt{19}}{19})$ で減少

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例