微分積分例

$f (x) = 2.7 + 3.2 x - 1.1 x^{2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $2.7 + 3.2 x - 1.1 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2.7] + \frac{d}{d x} [3.2 x] + \frac{d}{d x} [- 1.1 x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2.7) + \frac{d}{d x} (3.2 x) + \frac{d}{d x} (- 1.1 x^{2})$

ステップ 1.1.1.2

$2.7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2.7$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (3.2 x) + \frac{d}{d x} (- 1.1 x^{2})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3.2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$3.2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3.2 x$ の微分係数は $3.2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 0 + 3.2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1.1 x^{2})$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 0 + 3.2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1.1 x^{2})$

ステップ 1.1.2.3

$3.2$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 0 + 3.2 + \frac{d}{d x} (- 1.1 x^{2})$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 1.1 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1.1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 1.1 x^{2}$ の微分係数は $- 1.1 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 0 + 3.2 - 1.1 \frac{d}{d x} x^{2}$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 0 + 3.2 - 1.1 (2 x)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 1.1$ をかけます。

$f' (x) = 0 + 3.2 - 2.2 x$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

$0$ と $3.2$ をたし算します。

$f' (x) = 3.2 - 2.2 x$

ステップ 1.1.4.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 2.2 x + 3.2$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 2.2 x + 3.2$ です。

$- 2.2 x + 3.2$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2.2 x + 3.2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2.2 x + 3.2 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $3.2$ を引きます。

$- 2.2 x = - 3.2$

ステップ 2.3

$- 2.2 x = - 3.2$ の各項を $- 2.2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$- 2.2 x = - 3.2$ の各項を $- 2.2$ で割ります。

$\frac{- 2.2 x}{- 2.2} = \frac{- 3.2}{- 2.2}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- 2.2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2.2 x}{- 2.2} = \frac{- 3.2}{- 2.2}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 3.2}{- 2.2}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$- 3.2$ を $- 2.2$ で割ります。

$x = 1.\overline{45}$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $1.\overline{45}$ です。

$1.\overline{45}$

ステップ 4

微分係数 $f' (x) = - 2.2 x + 3.2$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = 2.7 + 3.2 x - 1.1 x^{2}$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, 1.\overline{45}) \cup (1.\overline{45}, \infty)$ です。

$(- \infty, 1.\overline{45}) \cup (1.\overline{45}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 1.\overline{45})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0.\overline{45}$ で置換えます。

$f' (0.\overline{45}) = - 2.2 \cdot 0.\overline{45} + 3.2$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 2.2$ に $0.\overline{45}$ をかけます。

$f' (0.\overline{45}) = - 1 + 3.2$

ステップ 5.2.2

$- 1$ と $3.2$ をたし算します。

$f' (0.\overline{45}) = 2.2$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $2.2$ です。

$2.2$

ステップ 5.3

$x = 0.\overline{45}$ で微分係数は $2.2$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, 1.\overline{45})$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, 1.\overline{45})$ で増加

ステップ 6

区間 $(1.\overline{45}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $2.\overline{45}$ で置換えます。

$f' (2.\overline{45}) = - 2.2 \cdot 2.\overline{45} + 3.2$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- 2.2$ に $2.\overline{45}$ をかけます。

$f' (2.\overline{45}) = - 5.3\overline{9} + 3.2$

ステップ 6.2.2

$- 5.3\overline{9}$ と $3.2$ をたし算します。

$f' (2.\overline{45}) = - 2.1\overline{9}$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 2.1\overline{9}$ です。

$- 2.1\overline{9}$

ステップ 6.3

$x = 2.\overline{45}$ で微分係数は $- 2.1\overline{9}$ です。これは負の値なので、関数は $(1.\overline{45}, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(1.\overline{45}, \infty)$ で減少

ステップ 7

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, 1.\overline{45})$ で増加

$(1.\overline{45}, \infty)$ で減少

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例