微分積分例

$f (x) = 2.9 + 3.8 x - 0.9 x^{2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $2.9 + 3.8 x - 0.9 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2.9] + \frac{d}{d x} [3.8 x] + \frac{d}{d x} [- 0.9 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2.9] + \frac{d}{d x} [3.8 x] + \frac{d}{d x} [- 0.9 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2

$2.9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2.9$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [3.8 x] + \frac{d}{d x} [- 0.9 x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3.8 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$3.8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3.8 x$ の微分係数は $3.8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + 3.8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.9 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 3.8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 0.9 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.3

$3.8$ に $1$ をかけます。

$0 + 3.8 + \frac{d}{d x} [- 0.9 x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 0.9 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 0.9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 0.9 x^{2}$ の微分係数は $- 0.9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 + 3.8 - 0.9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 3.8 - 0.9 (2 x)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 0.9$ をかけます。

$0 + 3.8 - 1.8 x$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

$0$ と $3.8$ をたし算します。

$3.8 - 1.8 x$

ステップ 1.1.4.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 1.8 x + 3.8$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 1.8 x + 3.8$ です。

$- 1.8 x + 3.8$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 1.8 x + 3.8 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 1.8 x + 3.8 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $3.8$ を引きます。

$- 1.8 x = - 3.8$

ステップ 2.3

$- 1.8 x = - 3.8$ の各項を $- 1.8$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$- 1.8 x = - 3.8$ の各項を $- 1.8$ で割ります。

$\frac{- 1.8 x}{- 1.8} = \frac{- 3.8}{- 1.8}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- 1.8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 1.8 x}{- 1.8} = \frac{- 3.8}{- 1.8}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 3.8}{- 1.8}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$- 3.8$ を $- 1.8$ で割ります。

$x = 2.\overline{1}$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $2.\overline{1}$ です。

$2.\overline{1}$

ステップ 4

微分係数 $f' (x) = - 1.8 x + 3.8$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = 2.9 + 3.8 x - 0.9 x^{2}$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, 2.\overline{1}) \cup (2.\overline{1}, \infty)$ です。

$(- \infty, 2.\overline{1}) \cup (2.\overline{1}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 2.\overline{1})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $1.\overline{1}$ で置換えます。

$f' (1.\overline{1}) = - 1.8 \cdot 1.\overline{1} + 3.8$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 1.8$ に $1.\overline{1}$ をかけます。

$f' (1.\overline{1}) = - 2 + 3.8$

ステップ 5.2.2

$- 2$ と $3.8$ をたし算します。

$f' (1.\overline{1}) = 1.8$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $1.8$ です。

$1.8$

ステップ 5.3

$x = 1.\overline{1}$ で微分係数は $1.8$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, 2.\overline{1})$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, 2.\overline{1})$ で増加

ステップ 6

区間 $(2.\overline{1}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $3.\overline{1}$ で置換えます。

$f' (3.\overline{1}) = - 1.8 \cdot 3.\overline{1} + 3.8$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- 1.8$ に $3.\overline{1}$ をかけます。

$f' (3.\overline{1}) = - 5.6 + 3.8$

ステップ 6.2.2

$- 5.6$ と $3.8$ をたし算します。

$f' (3.\overline{1}) = - 1.8$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 1.8$ です。

$- 1.8$

ステップ 6.3

$x = 3.\overline{1}$ で微分係数は $- 1.8$ です。これは負の値なので、関数は $(2.\overline{1}, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(2.\overline{1}, \infty)$ で減少

ステップ 7

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, 2.\overline{1})$ で増加

$(2.\overline{1}, \infty)$ で減少

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例