微分積分例

$f (x) = 13 x^{4} - 78 x^{2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $13 x^{4} - 78 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [13 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (13 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 78 x^{2})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [13 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$13$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $13 x^{4}$ の微分係数は $13 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = 13 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 78 x^{2})$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 13 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 78 x^{2})$

ステップ 1.1.2.3

$4$ に $13$ をかけます。

$f' (x) = 52 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 78 x^{2})$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 78$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 78 x^{2}$ の微分係数は $- 78 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 52 x^{3} - 78 \frac{d}{d x} x^{2}$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 52 x^{3} - 78 (2 x)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 78$ をかけます。

$f' (x) = 52 x^{3} - 156 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $52 x^{3} - 156 x$ です。

$52 x^{3} - 156 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $52 x^{3} - 156 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$52 x^{3} - 156 x = 0$

ステップ 2.2

$52 x$ を $52 x^{3} - 156 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$52 x$ を $52 x^{3}$ で因数分解します。

$52 x (x^{2}) - 156 x = 0$

ステップ 2.2.2

$52 x$ を $- 156 x$ で因数分解します。

$52 x (x^{2}) + 52 x (- 3) = 0$

ステップ 2.2.3

$52 x$ を $52 x (x^{2}) + 52 x (- 3)$ で因数分解します。

$52 x (x^{2} - 3) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x^{2} - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x^{2} - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 3 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x^{2} = 3$

ステップ 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

ステップ 2.5.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.5.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{3}$

ステップ 2.5.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{3}$

ステップ 2.5.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 2.6

最終解は $52 x (x^{2} - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$ です。

$0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - \sqrt{3})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 2.7320508$ で置換えます。

$f' (- 2.7320508) = 52 {(- 2.7320508)}^{3} - 156 \cdot - 2.7320508$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 2.7320508$ を $3$ 乗します。

$f' (- 2.7320508) = 52 \cdot - 20.39230467 - 156 \cdot - 2.7320508$

ステップ 5.2.1.2

$52$ に $- 20.39230467$ をかけます。

$f' (- 2.7320508) = - 1060.39984314 - 156 \cdot - 2.7320508$

ステップ 5.2.1.3

$- 156$ に $- 2.7320508$ をかけます。

$f' (- 2.7320508) = - 1060.39984314 + 426.1999248$

ステップ 5.2.2

$- 1060.39984314$ と $426.1999248$ をたし算します。

$f' (- 2.7320508) = - 634.19991834$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 634.19991834$ です。

$- 634.19991834$

ステップ 5.3

$x = - 2.7320508$ で微分係数は $- 634.19991834$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - \sqrt{3})$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - \sqrt{3})$ で減少

ステップ 6

区間 $(- 1.7320508, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 0.8660254$ で置換えます。

$f' (- 0.8660254) = 52 {(- 0.8660254)}^{3} - 156 \cdot - 0.8660254$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 0.8660254$ を $3$ 乗します。

$f' (- 0.8660254) = 52 \cdot - 0.64951904 - 156 \cdot - 0.8660254$

ステップ 6.2.1.2

$52$ に $- 0.64951904$ をかけます。

$f' (- 0.8660254) = - 33.7749903 - 156 \cdot - 0.8660254$

ステップ 6.2.1.3

$- 156$ に $- 0.8660254$ をかけます。

$f' (- 0.8660254) = - 33.7749903 + 135.0999624$

ステップ 6.2.2

$- 33.7749903$ と $135.0999624$ をたし算します。

$f' (- 0.8660254) = 101.32497209$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $101.32497209$ です。

$101.32497209$

ステップ 6.3

$x = - 0.8660254$ で微分係数は $101.32497209$ です。これは正の値なので、関数は $(- 1.7320508, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \sqrt{3}, 0)$ で増加

ステップ 7

区間 $(0, \sqrt{3})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0.8660254$ で置換えます。

$f' (0.8660254) = 52 {(0.8660254)}^{3} - 156 \cdot 0.8660254$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$0.8660254$ を $3$ 乗します。

$f' (0.8660254) = 52 \cdot 0.64951904 - 156 \cdot 0.8660254$

ステップ 7.2.1.2

$52$ に $0.64951904$ をかけます。

$f' (0.8660254) = 33.7749903 - 156 \cdot 0.8660254$

ステップ 7.2.1.3

$- 156$ に $0.8660254$ をかけます。

$f' (0.8660254) = 33.7749903 - 135.0999624$

ステップ 7.2.2

$33.7749903$ から $135.0999624$ を引きます。

$f' (0.8660254) = - 101.32497209$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 101.32497209$ です。

$- 101.32497209$

ステップ 7.3

$x = 0.8660254$ で微分係数は $- 101.32497209$ です。これは負の値なので、関数は $(0, \sqrt{3})$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, \sqrt{3})$ で減少

ステップ 8

区間 $(\sqrt{3}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $2.7320508$ で置換えます。

$f' (2.7320508) = 52 {(2.7320508)}^{3} - 156 \cdot 2.7320508$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$2.7320508$ を $3$ 乗します。

$f' (2.7320508) = 52 \cdot 20.39230467 - 156 \cdot 2.7320508$

ステップ 8.2.1.2

$52$ に $20.39230467$ をかけます。

$f' (2.7320508) = 1060.39984314 - 156 \cdot 2.7320508$

ステップ 8.2.1.3

$- 156$ に $2.7320508$ をかけます。

$f' (2.7320508) = 1060.39984314 - 426.1999248$

ステップ 8.2.2

$1060.39984314$ から $426.1999248$ を引きます。

$f' (2.7320508) = 634.19991834$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $634.19991834$ です。

$634.19991834$

ステップ 8.3

$x = 2.7320508$ で微分係数は $634.19991834$ です。これは正の値なので、関数は $(\sqrt{3}, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(\sqrt{3}, \infty)$ で増加

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \sqrt{3}, 0), (\sqrt{3}, \infty)$ で増加

$(- \infty, - \sqrt{3}), (0, \sqrt{3})$ で減少

ステップ 10

微分積分 例

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