微分積分例

$f (x) = 1 + \frac{5}{x} - \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $1 + \frac{5}{x} - \frac{9}{x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x^{2}}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{5}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{x^{2}})$

ステップ 1.1.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{5}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{x^{2}})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5}{x}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$f' (x) = 0 + 5 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{x^{2}})$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = 0 + 5 \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{x^{2}})$

ステップ 1.1.2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 0 + 5 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{x^{2}})$

ステップ 1.1.2.4

$- 1$ に $5$ をかけます。

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{x^{2}})$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{9}{x^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{9}{x^{2}}$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

ステップ 1.1.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

ステップ 1.1.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

ステップ 1.1.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

ステップ 1.1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

ステップ 1.1.3.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

ステップ 1.1.3.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (- x^{- 4} (2 x))$

ステップ 1.1.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (- 2 x^{- 4} x)$

ステップ 1.1.3.7

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

ステップ 1.1.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (- 2 x^{1 - 4})$

ステップ 1.1.3.9

$1$ から $4$ を引きます。

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (- 2 x^{- 3})$

ステップ 1.1.3.10

$- 2$ に $- 9$ をかけます。

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} + 18 x^{- 3}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = 0 - 5 \frac{1}{x^{2}} + 18 x^{- 3}$

ステップ 1.1.4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = 0 - 5 \frac{1}{x^{2}} + 18 (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.1.4.3

項をまとめます。

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ステップ 1.1.4.3.1

$- 5$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = 0 + \frac{- 5}{x^{2}} + 18 (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.1.4.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 0 - \frac{5}{x^{2}} + 18 (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.1.4.3.3

$0$ から $\frac{5}{x^{2}}$ を引きます。

$f' (x) = - \frac{5}{x^{2}} + 18 (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.1.4.3.4

$18$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$f' (x) = - \frac{5}{x^{2}} + \frac{18}{x^{3}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{18}{x^{3}}$ です。

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{18}{x^{3}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{18}{x^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{18}{x^{3}} = 0$

ステップ 2.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{2}, x^{3}, 1$

ステップ 2.2.2

Since $x^{2}, x^{3}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{3}$ .

ステップ 2.2.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 2.2.4

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 2.2.5

$1, 1, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$1$

ステップ 2.2.6

$x^{2}$ の因数は $x \cdot x$ です。これは $x$ を $2$ 倍したものです。

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ は $2$ 回発生します。

ステップ 2.2.7

$x^{3}$ の因数は $x \cdot x \cdot x$ です。これは $x$ を $3$ 倍したものです。

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ は $3$ 回発生します。

ステップ 2.2.8

$x^{2}, x^{3}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$x \cdot x \cdot x$

ステップ 2.2.9

$x \cdot x \cdot x$ を簡約します。

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ステップ 2.2.9.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} \cdot x$

ステップ 2.2.9.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.2.9.2.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 2.2.9.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} \cdot x^{1}$

ステップ 2.2.9.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2 + 1}$

ステップ 2.2.9.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$x^{3}$

ステップ 2.3

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{18}{x^{3}} = 0$ の各項に $x^{3}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.3.1

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{18}{x^{3}} = 0$ の各項に $x^{3}$ を掛けます。

$- \frac{5}{x^{2}} x^{3} + \frac{18}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1.1

$- \frac{5}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 5}{x^{2}} x^{3} + \frac{18}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

ステップ 2.3.2.1.1.2

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{- 5}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{18}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

ステップ 2.3.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{- 5}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{18}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

ステップ 2.3.2.1.1.4

式を書き換えます。

$- 5 x + \frac{18}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$- 5 x + \frac{18}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

ステップ 2.3.2.1.2.2

式を書き換えます。

$- 5 x + 18 = 0 x^{3}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$0$ に $x^{3}$ をかけます。

$- 5 x + 18 = 0$

ステップ 2.4

方程式を解きます。

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ステップ 2.4.1

方程式の両辺から $18$ を引きます。

$- 5 x = - 18$

ステップ 2.4.2

$- 5 x = - 18$ の各項を $- 5$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$- 5 x = - 18$ の各項を $- 5$ で割ります。

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 18}{- 5}$

ステップ 2.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

$- 5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 18}{- 5}$

ステップ 2.4.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 18}{- 5}$

ステップ 2.4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{18}{5}$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $\frac{18}{5}$ です。

$\frac{18}{5}$

ステップ 4

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{5}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4.3

$\frac{18}{x^{3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{3} = 0$

ステップ 4.4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 4.4.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 4.4.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 4.4.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 5

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{18}{5}) \cup (\frac{18}{5}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = - \frac{5}{{(- 1)}^{2}} + \frac{18}{{(- 1)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = - \frac{5}{1} + \frac{18}{{(- 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.2

$5$ を $1$ で割ります。

$f' (- 1) = - 1 \cdot 5 + \frac{18}{{(- 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.3

$- 1$ に $5$ をかけます。

$f' (- 1) = - 5 + \frac{18}{{(- 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.4

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f' (- 1) = - 5 + \frac{18}{- 1}$

ステップ 6.2.1.5

$18$ を $- 1$ で割ります。

$f' (- 1) = - 5 - 18$

ステップ 6.2.2

$- 5$ から $18$ を引きます。

$f' (- 1) = - 23$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 23$ です。

$- 23$

ステップ 6.3

$x = - 1$ で微分係数は $- 23$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, 0)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, 0)$ で減少

ステップ 7

区間 $(0, \frac{18}{5})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1.8$ で置換えます。

$f' (1.8) = - \frac{5}{{(1.8)}^{2}} + \frac{18}{{(1.8)}^{3}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$1.8$ を $2$ 乗します。

$f' (1.8) = - \frac{5}{3.24} + \frac{18}{{(1.8)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.2

$5$ を $3.24$ で割ります。

$f' (1.8) = - 1 \cdot 1.54320987 + \frac{18}{{(1.8)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.3

$- 1$ に $1.54320987$ をかけます。

$f' (1.8) = - 1.54320987 + \frac{18}{{(1.8)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.4

$1.8$ を $3$ 乗します。

$f' (1.8) = - 1.54320987 + \frac{18}{5.832}$

ステップ 7.2.1.5

$18$ を $5.832$ で割ります。

$f' (1.8) = - 1.54320987 + 3.08641975$

ステップ 7.2.2

$- 1.54320987$ と $3.08641975$ をたし算します。

$f' (1.8) = 1.54320987$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $1.54320987$ です。

$1.54320987$

ステップ 7.3

$x = 1.8$ で微分係数は $1.54320987$ です。これは正の値なので、関数は $(0, \frac{18}{5})$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(0, \frac{18}{5})$ で増加

ステップ 8

区間 $(\frac{18}{5}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $4.6$ で置換えます。

$f' (4.6) = - \frac{5}{{(4.6)}^{2}} + \frac{18}{{(4.6)}^{3}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$4.6$ を $2$ 乗します。

$f' (4.6) = - \frac{5}{21.16} + \frac{18}{{(4.6)}^{3}}$

ステップ 8.2.1.2

$5$ を $21.16$ で割ります。

$f' (4.6) = - 1 \cdot 0.23629489 + \frac{18}{{(4.6)}^{3}}$

ステップ 8.2.1.3

$- 1$ に $0.23629489$ をかけます。

$f' (4.6) = - 0.23629489 + \frac{18}{{(4.6)}^{3}}$

ステップ 8.2.1.4

$4.6$ を $3$ 乗します。

$f' (4.6) = - 0.23629489 + \frac{18}{97.336}$

ステップ 8.2.1.5

$18$ を $97.336$ で割ります。

$f' (4.6) = - 0.23629489 + 0.18492644$

ステップ 8.2.2

$- 0.23629489$ と $0.18492644$ をたし算します。

$f' (4.6) = - 0.05136845$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $- 0.05136845$ です。

$- 0.05136845$

ステップ 8.3

$x = 4.6$ で微分係数は $- 0.05136845$ です。これは負の値なので、関数は $(\frac{18}{5}, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(\frac{18}{5}, \infty)$ で減少

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(0, \frac{18}{5})$ で増加

$(- \infty, 0), (\frac{18}{5}, \infty)$ で減少

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例