微分積分例

$f (x) = 2 x^{4} + 6 x^{3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $2 x^{4} + 6 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{4}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

ステップ 1.1.2.3

$4$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = 8 x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{3}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 8 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} (x^{3})$

ステップ 1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 8 x^{3} + 6 (3 x^{2})$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $6$ をかけます。

$f' (x) = 8 x^{3} + 18 x^{2}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $8 x^{3} + 18 x^{2}$ です。

$8 x^{3} + 18 x^{2}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $8 x^{3} + 18 x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$8 x^{3} + 18 x^{2} = 0$

ステップ 2.2

$2 x^{2}$ を $8 x^{3} + 18 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$2 x^{2}$ を $8 x^{3}$ で因数分解します。

$2 x^{2} (4 x) + 18 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.2

$2 x^{2}$ を $18 x^{2}$ で因数分解します。

$2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} (9) = 0$

ステップ 2.2.3

$2 x^{2}$ を $2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} (9)$ で因数分解します。

$2 x^{2} (4 x + 9) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$4 x + 9 = 0$

ステップ 2.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.5

$4 x + 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$4 x + 9$ が $0$ に等しいとします。

$4 x + 9 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $4 x + 9 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$4 x = - 9$

ステップ 2.5.2.2

$4 x = - 9$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

$4 x = - 9$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 9}{4}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 9}{4}$

ステップ 2.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 9}{4}$

ステップ 2.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{9}{4}$

ステップ 2.6

最終解は $2 x^{2} (4 x + 9) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - \frac{9}{4}$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, - \frac{9}{4}$ です。

$0, - \frac{9}{4}$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{9}{4}) \cup (- \frac{9}{4}, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - \frac{9}{4})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 3.25$ で置換えます。

$f' (- 3.25) = 8 {(- 3.25)}^{3} + 18 {(- 3.25)}^{2}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 3.25$ を $3$ 乗します。

$f' (- 3.25) = 8 \cdot - 34.328125 + 18 {(- 3.25)}^{2}$

ステップ 5.2.1.2

$8$ に $- 34.328125$ をかけます。

$f' (- 3.25) = - 274.625 + 18 {(- 3.25)}^{2}$

ステップ 5.2.1.3

$- 3.25$ を $2$ 乗します。

$f' (- 3.25) = - 274.625 + 18 \cdot 10.5625$

ステップ 5.2.1.4

$18$ に $10.5625$ をかけます。

$f' (- 3.25) = - 274.625 + 190.125$

ステップ 5.2.2

$- 274.625$ と $190.125$ をたし算します。

$f' (- 3.25) = - 84.5$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 84.5$ です。

$- 84.5$

ステップ 5.3

$x = - 3.25$ で微分係数は $- 84.5$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - \frac{9}{4})$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - \frac{9}{4})$ で減少

ステップ 6

区間 $(- 2.25, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1.125$ で置換えます。

$f' (- 1.125) = 8 {(- 1.125)}^{3} + 18 {(- 1.125)}^{2}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 1.125$ を $3$ 乗します。

$f' (- 1.125) = 8 \cdot - 1.42382812 + 18 {(- 1.125)}^{2}$

ステップ 6.2.1.2

$8$ に $- 1.42382812$ をかけます。

$f' (- 1.125) = - 11.390625 + 18 {(- 1.125)}^{2}$

ステップ 6.2.1.3

$- 1.125$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1.125) = - 11.390625 + 18 \cdot 1.265625$

ステップ 6.2.1.4

$18$ に $1.265625$ をかけます。

$f' (- 1.125) = - 11.390625 + 22.78125$

ステップ 6.2.2

$- 11.390625$ と $22.78125$ をたし算します。

$f' (- 1.125) = 11.390625$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $11.390625$ です。

$11.390625$

ステップ 6.3

$x = - 1.125$ で微分係数は $11.390625$ です。これは正の値なので、関数は $(- 2.25, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \frac{9}{4}, 0)$ で増加

ステップ 7

区間 $(0, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = 8 {(1)}^{3} + 18 {(1)}^{2}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 8 \cdot 1 + 18 {(1)}^{2}$

ステップ 7.2.1.2

$8$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 8 + 18 {(1)}^{2}$

ステップ 7.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 8 + 18 \cdot 1$

ステップ 7.2.1.4

$18$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 8 + 18$

ステップ 7.2.2

$8$ と $18$ をたし算します。

$f' (1) = 26$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $26$ です。

$26$

ステップ 7.3

$x = 1$ で微分係数は $26$ です。これは正の値なので、関数は $(0, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(0, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \frac{9}{4}, 0), (0, \infty)$ で増加

$(- \infty, - \frac{9}{4})$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例