微分積分例

$\int_{- \infty}^{\infty} x e^{1 - x^{2}} d x$

ステップ 1

$0$ で積分を分割し、極限の和として書きます。

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} x e^{1 - x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

ステップ 2

$u = 1 - x^{2}$ とします。次に $d u = - 2 x d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$u = 1 - x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$1 - x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 2.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (2 x)$

ステップ 2.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 2 x$

ステップ 2.1.4

$0$ から $2 x$ を引きます。

$- 2 x$

ステップ 2.2

$u = 1 - x^{2}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 - t^{2}$

ステップ 2.3

$u = 1 - x^{2}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 - 0^{2}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{upper} = 1 - 0$

ステップ 2.4.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{upper} = 1 + 0$

ステップ 2.4.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$u_{upper} = 1$

ステップ 2.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1 - t^{2}$

$u_{upper} = 1$

ステップ 2.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

ステップ 3.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} - \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

ステップ 4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t \to - \infty} - \int_{1 - t^{2}}^{1} \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t \to - \infty} - (\frac{1}{2} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} d u) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

ステップ 6

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

ステップ 7

$e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$1$ および $1 - t^{2}$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{(e^{1}) - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

ステップ 8.2

簡約します。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

ステップ 9

$u = 1 - x^{2}$ とします。次に $d u = - 2 x d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$u = 1 - x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$1 - x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 9.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 9.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 9.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 9.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (2 x)$

ステップ 9.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 2 x$

ステップ 9.1.4

$0$ から $2 x$ を引きます。

$- 2 x$

ステップ 9.2

$u = 1 - x^{2}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

ステップ 9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 1 - 0$

ステップ 9.3.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 1 + 0$

ステップ 9.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 9.4

$u = 1 - x^{2}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 - t^{2}$

ステップ 9.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 - t^{2}$

ステップ 9.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

ステップ 10.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} - \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 11

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \int_{1}^{1 - t^{2}} \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 12

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} d u)$

ステップ 13

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}$

ステップ 14

$e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}}{2}$

ステップ 15

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$1 - t^{2}$ および $1$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{(e^{1 - t^{2}}) - e^{1}}{2}$

ステップ 15.2

簡約します。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

ステップ 16

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1.1

$- 1$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{t \to - \infty} \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

ステップ 16.1.2

$\frac{1}{2}$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} e - e^{1 - t^{2}} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

ステップ 16.1.3

$t$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

ステップ 16.1.4

$t$ が $- \infty$ に近づくと定数である $e$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{2} (e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

ステップ 16.2

指数 $1 - t^{2}$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{1 - t^{2}}$ が $0$ に近づきます。

$- \frac{1}{2} (e - 0) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

ステップ 16.3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.3.1

$- 1$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} (e - 0) - lim_{t \to \infty} \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

ステップ 16.3.2

$\frac{1}{2}$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - e$

ステップ 16.3.3

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - lim_{t \to \infty} e)$

ステップ 16.4

指数 $1 - t^{2}$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{1 - t^{2}}$ が $0$ に近づきます。

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} e)$

ステップ 16.5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.5.1

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $e$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (0 - e)$

ステップ 16.5.2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.5.2.1.1

$e$ から $0$ を引きます。

$- \frac{1}{2} e - \frac{1}{2} (0 - e)$

ステップ 16.5.2.1.2

$e$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{e}{2} - \frac{1}{2} (0 - e)$

ステップ 16.5.2.1.3

$0$ から $e$ を引きます。

$- \frac{e}{2} - \frac{1}{2} (- e)$

ステップ 16.5.2.1.4

$- \frac{1}{2} (- e)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.5.2.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{e}{2} + 1 (\frac{1}{2}) e$

ステップ 16.5.2.1.4.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{e}{2} + \frac{1}{2} e$

ステップ 16.5.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $e$ をまとめます。

$- \frac{e}{2} + \frac{e}{2}$

ステップ 16.5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- e + e}{2}$

ステップ 16.5.2.3

$- e$ と $e$ をたし算します。

$\frac{0}{2}$

ステップ 16.5.2.4

$0$ を $2$ で割ります。

$0$

微分積分 例

微分積分例