微分積分例

$f (x) = - x^{3} - 3 x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $- x^{3} - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{2} - 3 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - 3 x^{2} - 3$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 3 x^{2} - 3$ です。

$- 3 x^{2} - 3$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 3 x^{2} - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 3 x^{2} - 3 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$- 3 x^{2} = 3$

ステップ 2.3

$- 3 x^{2} = 3$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$- 3 x^{2} = 3$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{3}{- 3}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$3$ を $- 3$ で割ります。

$x^{2} = - 1$

ステップ 2.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 1}$

ステップ 2.5

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i$

ステップ 2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i$

ステップ 2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i$

ステップ 2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i, - i$

ステップ 3

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 4

微分係数 $f' (x) = - 3 x^{2} - 3$ を $0$ または未定義にする点はありません。 $f (x) = - x^{3} - 3 x$ の増加・減少を確認する区間は $(- \infty, \infty)$ です。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, \infty)$ から $1$ などの任意の数を微分係数 $f' (x) = - 3 x^{2} - 3$ に代入し、結果が負か正か確認します。結果が負ならば、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で減少します。結果が正ならば、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で増加しています。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = - 3 {(1)}^{2} - 3$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = - 3 \cdot 1 - 3$

ステップ 5.2.1.2

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = - 3 - 3$

ステップ 5.2.2

$- 3$ から $3$ を引きます。

$f' (1) = - 6$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 6$ です。

$- 6$

ステップ 6

$1$ を $f' (x) = - 3 x^{2} - 3$ に代入した結果は $- 6$ です。これは負なので、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で減少します。

$(- \infty, \infty)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- \infty, \infty)$ で減少することは、関数が常に減少しているという意味です。

常に減少

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例