微分積分例

$f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 9$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 8 x^{2} + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{2}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $- 8$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x + 0$

ステップ 1.1.3.2

$4 x^{3} - 16 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 16 x$ です。

$4 x^{3} - 16 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 16 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 16 x = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$4 x$ を $4 x^{3} - 16 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$4 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

ステップ 2.2.1.2

$4 x$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

ステップ 2.2.1.3

$4 x$ を $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

ステップ 2.2.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

ステップ 2.2.3

因数分解。

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ステップ 2.2.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

ステップ 2.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.6

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.7

最終解は $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 2, 2$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, - 2, 2$ です。

$0, - 2, 2$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 2)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f' (- 3) = 4 {(- 3)}^{3} - 16 \cdot - 3$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 3$ を $3$ 乗します。

$f' (- 3) = 4 \cdot - 27 - 16 \cdot - 3$

ステップ 5.2.1.2

$4$ に $- 27$ をかけます。

$f' (- 3) = - 108 - 16 \cdot - 3$

ステップ 5.2.1.3

$- 16$ に $- 3$ をかけます。

$f' (- 3) = - 108 + 48$

ステップ 5.2.2

$- 108$ と $48$ をたし算します。

$f' (- 3) = - 60$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 60$ です。

$- 60$

ステップ 5.3

$x = - 3$ で微分係数は $- 60$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - 2)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 2)$ で減少

ステップ 6

区間 $(- 2, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} - 16 \cdot - 1$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1 - 16 \cdot - 1$

ステップ 6.2.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = - 4 - 16 \cdot - 1$

ステップ 6.2.1.3

$- 16$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = - 4 + 16$

ステップ 6.2.2

$- 4$ と $16$ をたし算します。

$f' (- 1) = 12$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $12$ です。

$12$

ステップ 6.3

$x = - 1$ で微分係数は $12$ です。これは正の値なので、関数は $(- 2, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- 2, 0)$ で増加

ステップ 7

区間 $(0, 2)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} - 16 \cdot 1$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 4 \cdot 1 - 16 \cdot 1$

ステップ 7.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 4 - 16 \cdot 1$

ステップ 7.2.1.3

$- 16$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 4 - 16$

ステップ 7.2.2

$4$ から $16$ を引きます。

$f' (1) = - 12$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 12$ です。

$- 12$

ステップ 7.3

$x = 1$ で微分係数は $- 12$ です。これは負の値なので、関数は $(0, 2)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, 2)$ で減少

ステップ 8

区間 $(2, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f' (3) = 4 {(3)}^{3} - 16 \cdot 3$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$3$ を $3$ 乗します。

$f' (3) = 4 \cdot 27 - 16 \cdot 3$

ステップ 8.2.1.2

$4$ に $27$ をかけます。

$f' (3) = 108 - 16 \cdot 3$

ステップ 8.2.1.3

$- 16$ に $3$ をかけます。

$f' (3) = 108 - 48$

ステップ 8.2.2

$108$ から $48$ を引きます。

$f' (3) = 60$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $60$ です。

$60$

ステップ 8.3

$x = 3$ で微分係数は $60$ です。これは正の値なので、関数は $(2, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(2, \infty)$ で増加

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- 2, 0), (2, \infty)$ で増加

$(- \infty, - 2), (0, 2)$ で減少

ステップ 10

微分積分 例

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