微分積分例

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x - 1$ および $g (x) = x^{2} + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.2

$x^{2} + 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

総和則では、 $x^{2} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.7

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.8.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 3 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.1.3.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.2

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- x^{2} + 3 + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4

項を並べ替えます。

$\frac{- x^{2} + 2 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5

群による因数分解。

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ステップ 1.1.3.5.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ で和が $b = 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.1.3.5.1.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{- x^{2} + 2 (x) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.1.2

$2$ を $- 1$ プラス $3$ に書き換える

$\frac{- x^{2} + (- 1 + 3) x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- x^{2} - 1 x + 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.1.3.5.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(- x^{2} - 1 x) + 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x (- x - 1) - 3 (- x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.3

最大公約数 $- x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(- x - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.6

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{(- (x) - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.7

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.8

$- 1$ を $- (x) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{- (x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.9

$- (x + 1)$ を $- 1 (x + 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.10

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ です。

$- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$(x + 1) (x - 3) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 2.3.2

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.3.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.3.3

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.3.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.3.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.3.4

最終解は $(x + 1) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 3$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $- 1, 3$ です。

$- 1, 3$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 1)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = - \frac{((- 2) + 1) ((- 2) - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$f' (- 2) = - \frac{- 1 (- 2 - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.2

$- 2$ から $3$ を引きます。

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{{(4 + 3)}^{2}}$

ステップ 5.2.2.2

$4$ と $3$ をたし算します。

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{7^{2}}$

ステップ 5.2.2.3

$7$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{49}$

ステップ 5.2.3

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$f' (- 2) = - \frac{5}{49}$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $- \frac{5}{49}$ です。

$- \frac{5}{49}$

ステップ 5.3

$x = - 2$ で微分係数は $- \frac{5}{49}$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - 1)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 1)$ で減少

ステップ 6

区間 $(- 1, 3)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = - \frac{((1) + 1) ((1) - 3)}{{({(1)}^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 3)}{{(1^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$1$ から $3$ を引きます。

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{{(1^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{{(1 + 3)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{4^{2}}$

ステップ 6.2.2.3

$4$ を $2$ 乗します。

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{16}$

ステップ 6.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 6.2.3.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f' (1) = - \frac{- 4}{16}$

ステップ 6.2.3.2

$- 4$ と $16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.2.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$f' (1) = - \frac{4 (- 1)}{16}$

ステップ 6.2.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$f' (1) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$f' (1) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$f' (1) = - \frac{- 1}{4}$

ステップ 6.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (1) = \frac{1}{4}$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $\frac{1}{4}$ です。

$\frac{1}{4}$

ステップ 6.3

$x = 1$ で微分係数は $\frac{1}{4}$ です。これは正の値なので、関数は $(- 1, 3)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- 1, 3)$ で増加

ステップ 7

区間 $(3, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = - \frac{((4) + 1) ((4) - 3)}{{({(4)}^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$4$ と $1$ をたし算します。

$f' (4) = - \frac{5 (4 - 3)}{{(4^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

$4$ から $3$ を引きます。

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{{(4^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{{(16 + 3)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.2

$16$ と $3$ をたし算します。

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{19^{2}}$

ステップ 7.2.2.3

$19$ を $2$ 乗します。

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{361}$

ステップ 7.2.3

$5$ に $1$ をかけます。

$f' (4) = - \frac{5}{361}$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $- \frac{5}{361}$ です。

$- \frac{5}{361}$

ステップ 7.3

$x = 4$ で微分係数は $- \frac{5}{361}$ です。これは負の値なので、関数は $(3, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(3, \infty)$ で減少

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- 1, 3)$ で増加

$(- \infty, - 1), (3, \infty)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例