微分積分例

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x - 1$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.2

$x^{2} + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{x^{2} + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} + 1 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} + 1 - (x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.8.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 1 - (x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 1 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.2

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- x^{2} + 1 + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4

項を並べ替えます。

$\frac{- x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2}) + 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.6

$- 1$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2}) - (- 2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.7

$- 1$ を $- (x^{2}) - (- 2 x)$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2} - 2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.8

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.9

$- 1$ を $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.10

$- (x^{2} - 2 x - 1)$ を $- 1 (x^{2} - 2 x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.11

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ です。

$- \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.3.2

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.3.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.3.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.3.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.3.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.3.3.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

ステップ 2.3.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.4.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.4.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.4.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.3.4.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

ステップ 2.3.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 1 + \sqrt{2}$

ステップ 2.3.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.5.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.5.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.5.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.3.5.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

ステップ 2.3.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 1 - \sqrt{2}$

ステップ 2.3.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$ です。

$1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 1 - \sqrt{2}) \cup (1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}) \cup (1 + \sqrt{2}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1.41421357$ で置換えます。

$f' (- 1.41421357) = - \frac{{(- 1.41421357)}^{2} - 2 \cdot - 1.41421357 - 1}{{({(- 1.41421357)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 1.41421357$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1.41421357) = - \frac{2.00000002 - 2 \cdot - 1.41421357 - 1}{{({(- 1.41421357)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.2

$- 2$ に $- 1.41421357$ をかけます。

$f' (- 1.41421357) = - \frac{2.00000002 + 2.82842714 - 1}{{({(- 1.41421357)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.3

$2.00000002$ と $2.82842714$ をたし算します。

$f' (- 1.41421357) = - \frac{4.82842716 - 1}{{({(- 1.41421357)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.4

$4.82842716$ から $1$ を引きます。

$f' (- 1.41421357) = - \frac{3.82842716}{{({(- 1.41421357)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 1.41421357$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1.41421357) = - \frac{3.82842716}{{(2.00000002 + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.2.2

$2.00000002$ と $1$ をたし算します。

$f' (- 1.41421357) = - \frac{3.82842716}{{3.00000002}^{2}}$

ステップ 5.2.2.3

$3.00000002$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1.41421357) = - \frac{3.82842716}{9.00000012}$

ステップ 5.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$3.82842716$ を $9.00000012$ で割ります。

$f' (- 1.41421357) = - 1 \cdot 0.42538078$

ステップ 5.2.3.2

$- 1$ に $0.42538078$ をかけます。

$f' (- 1.41421357) = - 0.42538078$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $- 0.42538078$ です。

$- 0.42538078$

ステップ 5.3

$x = - 1.41421357$ で微分係数は $- 0.42538078$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ で減少

ステップ 6

区間 $(- 0.41421357, 1 + \sqrt{2})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1.00000006$ で置換えます。

$f' (1.00000006) = - \frac{{(1.00000006)}^{2} - 2 \cdot 1.00000006 - 1}{{({(1.00000006)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$1.00000006$ を $2$ 乗します。

$f' (1.00000006) = - \frac{1.00000013 - 2 \cdot 1.00000006 - 1}{{({1.00000006}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 2$ に $1.00000006$ をかけます。

$f' (1.00000006) = - \frac{1.00000013 - 2.00000013 - 1}{{({1.00000006}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.3

$1.00000013$ から $2.00000013$ を引きます。

$f' (1.00000006) = - \frac{- 1 - 1}{{({1.00000006}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.4

$- 1$ から $1$ を引きます。

$f' (1.00000006) = - \frac{- 2}{{({1.00000006}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$1.00000006$ を $2$ 乗します。

$f' (1.00000006) = - \frac{- 2}{{(1.00000013 + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

$1.00000013$ と $1$ をたし算します。

$f' (1.00000006) = - \frac{- 2}{{2.00000013}^{2}}$

ステップ 6.2.2.3

$2.00000013$ を $2$ 乗します。

$f' (1.00000006) = - \frac{- 2}{4.00000052}$

ステップ 6.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$- 2$ を $4.00000052$ で割ります。

$f' (1.00000006) = 0.49999993$

ステップ 6.2.3.2

$- 1$ に $- 0.49999993$ をかけます。

$f' (1.00000006) = 0.49999993$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $0.49999993$ です。

$0.49999993$

ステップ 6.3

$x = 1.00000006$ で微分係数は $0.49999993$ です。これは正の値なので、関数は $(- 0.41421357, 1 + \sqrt{2})$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$ で増加

ステップ 7

区間 $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $3.4142137$ で置換えます。

$f' (3.4142137) = - \frac{{(3.4142137)}^{2} - 2 \cdot 3.4142137 - 1}{{({(3.4142137)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$3.4142137$ を $2$ 乗します。

$f' (3.4142137) = - \frac{11.65685518 - 2 \cdot 3.4142137 - 1}{{({3.4142137}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

$- 2$ に $3.4142137$ をかけます。

$f' (3.4142137) = - \frac{11.65685518 - 6.8284274 - 1}{{({3.4142137}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.3

$11.65685518$ から $6.8284274$ を引きます。

$f' (3.4142137) = - \frac{4.82842778 - 1}{{({3.4142137}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.4

$4.82842778$ から $1$ を引きます。

$f' (3.4142137) = - \frac{3.82842778}{{({3.4142137}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$3.4142137$ を $2$ 乗します。

$f' (3.4142137) = - \frac{3.82842778}{{(11.65685518 + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.2

$11.65685518$ と $1$ をたし算します。

$f' (3.4142137) = - \frac{3.82842778}{{12.65685518}^{2}}$

ステップ 7.2.2.3

$12.65685518$ を $2$ 乗します。

$f' (3.4142137) = - \frac{3.82842778}{160.19598328}$

ステップ 7.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$3.82842778$ を $160.19598328$ で割ります。

$f' (3.4142137) = - 1 \cdot 0.0238984$

ステップ 7.2.3.2

$- 1$ に $0.0238984$ をかけます。

$f' (3.4142137) = - 0.0238984$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $- 0.0238984$ です。

$- 0.0238984$

ステップ 7.3

$x = 3.4142137$ で微分係数は $- 0.0238984$ です。これは負の値なので、関数は $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ で減少

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$ で増加

$(- \infty, 1 - \sqrt{2}), (1 + \sqrt{2}, \infty)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例