微分積分例

$y = \frac{4 x - 8}{2 x + 3}$ , $x = 2$

ステップ 1

$f (x) = 4 x - 8$ および $g (x) = 2 x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(2 x + 3) \frac{d}{d x} [4 x - 8] - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $4 x - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$\frac{(2 x + 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

ステップ 2.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(2 x + 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(2 x + 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

ステップ 2.4

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{(2 x + 3) (4 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

ステップ 2.5

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(2 x + 3) (4 + 0) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(2 x + 3) \cdot 4 - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

ステップ 2.6.2

$4$ を $2 x + 3$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot (2 x + 3) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

ステップ 2.7

総和則では、 $2 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

ステップ 2.8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

ステップ 2.10

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (2 + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

ステップ 2.11

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (2 + 0)}{{(2 x + 3)}^{2}}$

ステップ 2.12

式を簡約します。

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ステップ 2.12.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) \cdot 2}{{(2 x + 3)}^{2}}$

ステップ 2.12.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 (2 x + 3) - 2 (4 x - 8)}{{(2 x + 3)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 2 (4 x - 8)}{{(2 x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 8$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.3.1.1

$4 (2 x)$ と $- 2 (4 x)$ について因数を並べ替えます。

$\frac{2 \cdot 4 x + 4 \cdot 3 - 2 \cdot 4 x - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2

$2 \cdot 4 x$ から $2 \cdot 4 x$ を引きます。

$\frac{4 \cdot 3 + 0 - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.3

$4 \cdot 3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 \cdot 3 - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{12 - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.2

$- 2$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{12 + 16}{{(2 x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$12$ と $16$ をたし算します。

$\frac{28}{{(2 x + 3)}^{2}}$

ステップ 4

$x = 2$ で微分係数を求めます。

$\frac{28}{{(2 (2) + 3)}^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分母を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{28}{{(4 + 3)}^{2}}$

ステップ 5.1.2

$4$ と $3$ をたし算します。

$\frac{28}{7^{2}}$

ステップ 5.1.3

$7$ を $2$ 乗します。

$\frac{28}{49}$

ステップ 5.2

$28$ と $49$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

$7$ を $28$ で因数分解します。

$\frac{7 (4)}{49}$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$7$ を $49$ で因数分解します。

$\frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

ステップ 5.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{7}$

微分積分 例

微分積分例