微分積分例

$y = (3 x^{2} - 5 x + 1) (2 - 3 x - x^{2})$ , $x = 4$

ステップ 1

$f (x) = 3 x^{2} - 5 x + 1$ および $g (x) = 2 - 3 x - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [2 - 3 x - x^{2}] + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $2 - 3 x - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

ステップ 2.2

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ をたし算します。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

ステップ 2.4

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

ステップ 2.6

$- 3$ に $1$ をかけます。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

ステップ 2.7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

ステップ 2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - (2 x)) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

ステップ 2.9

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

ステップ 2.10

総和則では、 $3 x^{2} - 5 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.11

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.13

$2$ に $3$ をかけます。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.14

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.15

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.16

$- 5$ に $1$ をかけます。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.17

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5 + 0)$

ステップ 2.18

$6 x - 5$ と $0$ をたし算します。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$1$ を $(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$1$ を $(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x)$ で因数分解します。

$1 ((3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x)) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

ステップ 3.1.2

$1$ を $(2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$ で因数分解します。

$1 ((3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x)) + 1 ((2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5))$

ステップ 3.1.3

$1$ を $1 ((3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x)) + 1 ((2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5))$ で因数分解します。

$1 ((3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5))$

ステップ 3.2

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$ に $1$ をかけます。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

ステップ 3.3

項を並べ替えます。

$(- 3 - 2 x) (3 x^{2} - 5 x + 1) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

ステップ 3.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(- 3 - 2 x) (3 x^{2} - 5 x + 1)$ を展開します。

$- 3 (3 x^{2}) - 3 (- 5 x) - 3 \cdot 1 - 2 x (3 x^{2}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

ステップ 3.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$3$ に $- 3$ をかけます。

$- 9 x^{2} - 3 (- 5 x) - 3 \cdot 1 - 2 x (3 x^{2}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

ステップ 3.4.2.2

$- 5$ に $- 3$ をかけます。

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 \cdot 1 - 2 x (3 x^{2}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

ステップ 3.4.2.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 x (3 x^{2}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

ステップ 3.4.2.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 \cdot 3 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

ステップ 3.4.2.5

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.5.1

$x^{2}$ を移動させます。

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 \cdot 3 (x^{2} x) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

ステップ 3.4.2.5.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 \cdot 3 (x^{2} x^{1}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

ステップ 3.4.2.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 \cdot 3 x^{2 + 1} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

ステップ 3.4.2.5.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 \cdot 3 x^{3} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

ステップ 3.4.2.6

$- 2$ に $3$ をかけます。

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

ステップ 3.4.2.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} - 2 \cdot - 5 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

ステップ 3.4.2.8

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.8.1

$x$ を移動させます。

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} - 2 \cdot - 5 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

ステップ 3.4.2.8.2

$x$ に $x$ をかけます。

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} - 2 \cdot - 5 x^{2} - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

ステップ 3.4.2.9

$- 2$ に $- 5$ をかけます。

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} + 10 x^{2} - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

ステップ 3.4.2.10

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} + 10 x^{2} - 2 x + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

ステップ 3.4.3

$- 9 x^{2}$ と $10 x^{2}$ をたし算します。

$x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} - 2 x + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

ステップ 3.4.4

$15 x$ から $2 x$ を引きます。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

ステップ 3.4.5

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$ を展開します。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 2 (6 x) + 2 \cdot - 5 - 3 x (6 x) - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

ステップ 3.4.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.1

$6$ に $2$ をかけます。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x + 2 \cdot - 5 - 3 x (6 x) - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

ステップ 3.4.6.2

$2$ に $- 5$ をかけます。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 3 x (6 x) - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

ステップ 3.4.6.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 3 \cdot 6 x \cdot x - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

ステップ 3.4.6.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.4.1

$x$ を移動させます。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 3 \cdot 6 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

ステップ 3.4.6.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 3 \cdot 6 x^{2} - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

ステップ 3.4.6.5

$- 3$ に $6$ をかけます。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

ステップ 3.4.6.6

$- 5$ に $- 3$ をかけます。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

ステップ 3.4.6.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 1 \cdot 6 x^{2} x - x^{2} \cdot - 5$

ステップ 3.4.6.8

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.8.1

$x$ を移動させます。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 1 \cdot 6 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 5$

ステップ 3.4.6.8.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.8.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 1 \cdot 6 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 5$

ステップ 3.4.6.8.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 1 \cdot 6 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 5$

ステップ 3.4.6.8.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 1 \cdot 6 x^{3} - x^{2} \cdot - 5$

ステップ 3.4.6.9

$- 1$ に $6$ をかけます。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 6 x^{3} - x^{2} \cdot - 5$

ステップ 3.4.6.10

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 6 x^{3} + 5 x^{2}$

ステップ 3.4.7

$12 x$ と $15 x$ をたし算します。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 27 x - 10 - 18 x^{2} - 6 x^{3} + 5 x^{2}$

ステップ 3.4.8

$- 18 x^{2}$ と $5 x^{2}$ をたし算します。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 27 x - 10 - 6 x^{3} - 13 x^{2}$

ステップ 3.5

$x^{2}$ から $13 x^{2}$ を引きます。

$- 12 x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 27 x - 10 - 6 x^{3}$

ステップ 3.6

$13 x$ と $27 x$ をたし算します。

$- 12 x^{2} + 40 x - 3 - 6 x^{3} - 10 - 6 x^{3}$

ステップ 3.7

$- 3$ から $10$ を引きます。

$- 12 x^{2} + 40 x - 6 x^{3} - 13 - 6 x^{3}$

ステップ 3.8

$- 6 x^{3}$ から $6 x^{3}$ を引きます。

$- 12 x^{2} + 40 x - 12 x^{3} - 13$

ステップ 4

$x = 4$ で微分係数を求めます。

$- 12 {(4)}^{2} + 40 (4) - 12 {(4)}^{3} - 13$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$- 12 \cdot 16 + 40 (4) - 12 {(4)}^{3} - 13$

ステップ 5.1.2

$- 12$ に $16$ をかけます。

$- 192 + 40 (4) - 12 {(4)}^{3} - 13$

ステップ 5.1.3

$40$ に $4$ をかけます。

$- 192 + 160 - 12 {(4)}^{3} - 13$

ステップ 5.1.4

$4$ を $3$ 乗します。

$- 192 + 160 - 12 \cdot 64 - 13$

ステップ 5.1.5

$- 12$ に $64$ をかけます。

$- 192 + 160 - 768 - 13$

ステップ 5.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$- 192$ と $160$ をたし算します。

$- 32 - 768 - 13$

ステップ 5.2.2

$- 32$ から $768$ を引きます。

$- 800 - 13$

ステップ 5.2.3

$- 800$ から $13$ を引きます。

$- 813$

微分積分 例

微分積分例