微分積分例

$y = \frac{1}{3 x - 5}$ , $x = 1$

ステップ 1

$\frac{1}{3 x - 5}$ を ${(3 x - 5)}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = 3 x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x - 5$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $3 x - 5$ で置き換えます。

$- {(3 x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $3 x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 3.4

$3$ に $1$ をかけます。

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 3.5

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (3 + 0)$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$- {(3 x - 5)}^{- 2} \cdot 3$

ステップ 3.6.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 {(3 x - 5)}^{- 2}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 3 \frac{1}{{(3 x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$- 3$ と $\frac{1}{{(3 x - 5)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

ステップ 5

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$- \frac{3}{{(3 (1) - 5)}^{2}}$

ステップ 6

分母を簡約します。

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ステップ 6.1

$3$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3}{{(3 - 5)}^{2}}$

ステップ 6.2

$3$ から $5$ を引きます。

$- \frac{3}{{(- 2)}^{2}}$

ステップ 6.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{3}{4}$

微分積分 例

微分積分例