微分積分例

$y = {(2 x + 1)}^{x}$ , $x = 1$

ステップ 1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 1.1

${(2 x + 1)}^{x}$ を $e^{\ln ({(2 x + 1)}^{x})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(2 x + 1)}^{x})}]$

ステップ 1.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(2 x + 1)}^{x})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (2 x + 1)}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x \ln (2 x + 1)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x \ln (2 x + 1)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (2 x + 1)]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (2 x + 1)]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x \ln (2 x + 1)$ で置き換えます。

$e^{x \ln (2 x + 1)} \frac{d}{d x} [x \ln (2 x + 1)]$

ステップ 3

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (2 x + 1)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (x \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 2 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x + 1$ とします。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (x (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2 x + 1}$ と $x$ をまとめます。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.2

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.5

$2$ に $1$ をかけます。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (2 + 0) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.7

分数をまとめます。

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ステップ 5.7.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} \cdot 2 + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.7.2

$\frac{x}{2 x + 1}$ と $2$ をまとめます。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x \cdot 2}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.7.3

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{2 \cdot x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \cdot 1)$

ステップ 5.9

$\ln (2 x + 1)$ に $1$ をかけます。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1))$

ステップ 6

$\ln (2 x + 1)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ を掛けます。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1})$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$e^{x \ln (2 x + 1)} \frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

ステップ 8

$e^{x \ln (2 x + 1)}$ と $\frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$ をまとめます。

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1))}{2 x + 1}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + \ln (2 x + 1) (2 x) + \ln (2 x + 1) \cdot 1)}{2 x + 1}$

ステップ 9.1.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + 2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1) \cdot 1)}{2 x + 1}$

ステップ 9.1.1.3

$\ln (2 x + 1)$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + 2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$

ステップ 9.1.1.4

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (2 x + 1)$ を簡約します。

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x + \ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$

ステップ 9.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x) + e^{x \ln (2 x + 1)} (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

ステップ 9.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 e^{x \ln (2 x + 1)} x + e^{x \ln (2 x + 1)} (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

ステップ 9.1.4

$2 e^{x \ln (2 x + 1)} x + e^{x \ln (2 x + 1)} (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{2 x e^{x \ln (2 x + 1)} + x e^{x \ln (2 x + 1)} \ln ({(2 x + 1)}^{2}) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

ステップ 9.2

項を並べ替えます。

$\frac{2 e^{x \ln (2 x + 1)} x + e^{x \ln (2 x + 1)} x \ln ({(2 x + 1)}^{2}) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

ステップ 10

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$\frac{2 e^{(1) \ln (2 (1) + 1)} (1) + e^{(1) \ln (2 (1) + 1)} (1) \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{(1) \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分子を簡約します。

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ステップ 11.1.1

対数の中の $1$ を移動させて $1 \ln (2 (1) + 1)$ を簡約します。

$\frac{2 e^{\ln ({(2 (1) + 1)}^{1})} \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.1.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\frac{2 {(2 (1) + 1)}^{1} \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 {(2 + 1)}^{1} \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.1.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \cdot 3^{1} \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.1.5

指数を求めます。

$\frac{2 \cdot 3 \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.1.6

$2 \cdot 3 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 11.1.6.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.1.6.2

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.1.7

対数の中の $1$ を移動させて $1 \ln (2 (1) + 1)$ を簡約します。

$\frac{6 + e^{\ln ({(2 (1) + 1)}^{1})} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.1.8

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\frac{6 + {(2 (1) + 1)}^{1} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.1.9

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 + {(2 + 1)}^{1} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.1.10

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{6 + 3^{1} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.1.11

指数を求めます。

$\frac{6 + 3 \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.1.12

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 + 3 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.1.13

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 + 3 \ln ({(2 + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.1.14

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{6 + 3 \ln (3^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.1.15

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{6 + 3 \ln (9) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.1.16

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (9)$ を簡約します。

$\frac{6 + \ln (9^{3}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.1.17

$9$ を $3$ 乗します。

$\frac{6 + \ln (729) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.1.18

対数の中の $1$ を移動させて $1 \ln (2 (1) + 1)$ を簡約します。

$\frac{6 + \ln (729) + e^{\ln ({(2 (1) + 1)}^{1})} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.1.19

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\frac{6 + \ln (729) + {(2 (1) + 1)}^{1} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.1.20

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 + \ln (729) + {(2 + 1)}^{1} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.1.21

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{6 + \ln (729) + 3^{1} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.1.22

指数を求めます。

$\frac{6 + \ln (729) + 3 \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.1.23

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 + \ln (729) + 3 \ln (2 + 1)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.1.24

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{6 + \ln (729) + 3 \ln (3)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.1.25

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (3)$ を簡約します。

$\frac{6 + \ln (729) + \ln (3^{3})}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.1.26

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{6 + \ln (729) + \ln (27)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.1.27

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\frac{6 + \ln (729 \cdot 27)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.1.28

$729$ に $27$ をかけます。

$\frac{6 + \ln (19683)}{2 (1) + 1}$

ステップ 11.2

分母を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 + \ln (19683)}{2 + 1}$

ステップ 11.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{6 + \ln (19683)}{3}$

微分積分 例

微分積分例