微分積分例

$y = \sqrt{3 + 5 x}$ , $x = 0$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 + 5 x}$ を ${(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 3 + 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 + 5 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $3 + 5 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(3 + 5 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(3 + 5 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(3 + 5 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(3 + 5 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

ステップ 7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(3 + 5 x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(3 + 5 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

ステップ 7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(3 + 5 x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

ステップ 8

総和則では、 $3 + 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 x]$ です。

$\frac{1}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 9

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 10

$0$ と $\frac{d}{d x} [5 x]$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 11

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 12

$5$ と $\frac{1}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{5}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 14

$\frac{5}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{5}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 15

$x = 0$ で微分係数を求めます。

$\frac{5}{2 {(3 + 5 (0))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 16

分母を簡約します。

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ステップ 16.1

$5$ に $0$ をかけます。

$\frac{5}{2 {(3 + 0)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 16.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{5}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例