微分積分例

$y = 8 \sin (x) \cos (x)$ , $x = \frac{π}{3}$

ステップ 1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 \sin (x) \cos (x)$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

ステップ 2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$8 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$8 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 4

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 5

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 7

$1$ と $1$ をたし算します。

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 8

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

ステップ 9

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

ステップ 10

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

ステップ 11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

ステップ 12

$1$ と $1$ をたし算します。

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

分配則を当てはめます。

$8 (- \sin^{2} (x)) + 8 \cos^{2} (x)$

ステップ 13.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$- 8 \sin^{2} (x) + 8 \cos^{2} (x)$

ステップ 14

$x = \frac{π}{3}$ で微分係数を求めます。

$- 8 \sin^{2} (\frac{π}{3}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

各項を簡約します。

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ステップ 15.1.1

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- 8 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 15.1.2

積の法則を $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に当てはめます。

$- 8 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 15.1.3

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 15.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- 8 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 15.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 8 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 15.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- 8 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 15.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$- 8 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 15.1.3.4.2

式を書き換えます。

$- 8 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 15.1.3.5

指数を求めます。

$- 8 \frac{3}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 15.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$- 8 (\frac{3}{4}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 15.1.5

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.1.5.1

$4$ を $- 8$ で因数分解します。

$4 (- 2) \frac{3}{4} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 15.1.5.2

共通因数を約分します。

$4 \cdot - 2 \frac{3}{4} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 15.1.5.3

式を書き換えます。

$- 2 \cdot 3 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 15.1.6

$- 2$ に $3$ をかけます。

$- 6 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 15.1.7

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$- 6 + 8 {(\frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 15.1.8

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$- 6 + 8 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

ステップ 15.1.9

1のすべての数の累乗は1です。

$- 6 + 8 \frac{1}{2^{2}}$

ステップ 15.1.10

$2$ を $2$ 乗します。

$- 6 + 8 (\frac{1}{4})$

ステップ 15.1.11

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.1.11.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$- 6 + 4 (2) \frac{1}{4}$

ステップ 15.1.11.2

共通因数を約分します。

$- 6 + 4 \cdot 2 \frac{1}{4}$

ステップ 15.1.11.3

式を書き換えます。

$- 6 + 2$

ステップ 15.2

$- 6$ と $2$ をたし算します。

$- 4$

微分積分 例

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